Радіан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці та фізиці, радіан одиниця виміру плоских кутів, що прийнята Міжнародною Системою Одиниць СІ.

Кут в один радіан відрізає дугу такої ж довжини що і радіус кола.

Один радіан це плоский кут, утворений двома радіусами, такий, що довжина дуги між ними точно дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на ций кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірною одиницею вимірювання та має позначаєння рад (міжнародне — rad), але, як правило, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити їх від радіанів.

[ред.] Пояснення

Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r - радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перевод радіанів до градусів та навпаки здійснюється наступним чином:

2π рад = 360°,

1 рад = 360°/(2π) = 180°/π ≈ 57.29578°.

360° = 2π рад,

1° = 2π/360 рад = π/180 рад.

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів).

Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1$

що є основою багатьох елегантних формул в математиці.

Для вимірювання об'ємних кутів використовується стерадіан.

[ред.] Розмірність

Радіан є безрозмірною одиницею виміру. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіану, як відношення довжини кола до радіусу. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м^-1.

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена глузду — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x³/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірним.

[ред.] Дивись також

Одиниці Міжнародної системи одиниць СІ
Основні:	метр • кілограм • секунда • ампер • кельвін • кандела • моль
Похідні:	радіан • стерадіан • герц • ньютон • джоуль • ват • паскаль • кулон • вольт • ом • сіменс • фарад • вебер • тесла • генрі • градус Цельсія • люмен • люкс • бекерель • грей • зіверт • катал