Operatore di Laplace

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L' operatore di Laplace o laplaciano è un operatore differenziale di secondo grado scalare che si applica a funzioni scalari definite in uno spazio euclideo di due o più dimensioni. Si distinguono quindi l'operatore di Laplace in due dimensioni, quello in tre, ... , quello in n dimensioni. In coordinate cartesiane è definito come la somma delle derivate parziali seconde non miste rispetto alle coordinate.

Il suo nome deriva dal matematico e astronomo francese Pierre Simon Laplace (1749-1827). Si tratta di un operatore ellittico che riveste grande importanza in matematica e in fisica. Viene usato per modellare la propagazione ondosa e il flusso del calore, comparendo nella equazione di Helmholtz. Svolge un ruolo centrale nell'elettrostatica, comparendo nell'equazione di Laplace nell'equazione di Poisson. Nella meccanica quantistica rappresenta l'osservabile energia cinetica e compare nell'equazione di Schrödinger. In matematica le funzioni caratterizzate dall'annullarsi del laplaciano sono le funzione armonica; infine ricordiamo che l'operatore di Laplace sta al centro della teoria di Hodge e dei risultati della coomologia di de Rham.

[modifica] Espressioni

Il modo più semplice per denotarlo si serve del simbolo $\triangle$ . Un secondo modo di esprimerlo, ben significativo, si serve dell'operatore differenziale vettoriale nabla $\nabla$ e si collega agli operatori differenziali divergenza e gradiente.

$\Delta f(\mathbf{x}) = \mbox{div}(\mbox{grad}f(\mathbf{x})) = \nabla\cdot\left(\nabla f(\mathbf{x})\right) = \nabla^2 f(\mathbf{x})$ .

L'operatore di Laplace in due dimensioni nelle coordinate cartesiane è dato da:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 }$ ,

mentre in coordinate polari è

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}$ .

In tre dimensioni e nelle coordinate cartesiane è:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 }$ ;

nelle coordinate cilindriche:

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$

nelle coordinate sferiche:

$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}$

$= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.$

In un generico numero n di dimensioni si ha l'espressione cartesiana

$\Delta=\nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2 \over \partial {x_i}^2 }$ .

È anche possibile applicare l'operatore a un campo vettoriale $\vec f(\mathbf{x})= \mathbf{u}_{x} f_{x} + \mathbf{u}_{y} f_{y} + \mathbf{u}_{z} f_{z}$ : in tal caso è sufficiente applicarlo separatamente alle tre componenti scalari cartesiane, e i tre scalari ottenuti rappresentano le componenti cartesiane del vettore risultante. Si ottiene quindi

$\Delta \vec f=\mathbf{u}_{x}\Delta f_{x} + \mathbf{u}_{y}\Delta f_{y} + \mathbf{u}_{z}\Delta f_{z}$

[modifica] Proprietà di base

Il laplaciano è un operatore lineare:

$\Delta(a\cdot f + b\cdot g) \,=\, a\cdot \Delta f + b\cdot \Delta g$

Direttamente dalla regola della derivata del prodotto si ricava l'espressione:

$\Delta(f\cdot g)=(\Delta f)\cdot g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f\cdot (\Delta g)$

Se si cerca di approssimare l'applicazione dell'operatore di Laplace a una funzione $F(\mathbf{x})$ utilizzando i metodi numerici, vanno notate alcune interessanti proprietà. Ricordando la definizione di derivata di una funzione di una variabile:

$\frac{\partial f}{\partial x } = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$

e applicandola successivamente sulle diverse dimensioni dello spazio ambiente in modo da ottenere la somma delle derivate seconde lungo le diverse coordinate, si ottiene che il valore del laplaciano è simile al valore della media della funzione di campo in quel punto. In sostanza il laplaciano mostra come varia localmente la funzione nello spazio. Se si scrive:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} - \frac{f(x)-f(x-\epsilon)}{\epsilon}} {\epsilon}$

Quindi si può scrivere:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\epsilon)-2f(x)+f(x-\epsilon)}{\epsilon^2}$

Questa proprietà diventa molto interessante nel caso del campo elettromagnetico dato che l'operatore di Laplace del potenziale elettrico di un punto nello spazio è la divergenza del potenziale elettrico. Quindi il laplaciano segnala la variazione della densità di carica nello spazio.

L'operatore di laplace risulta molto utile anche nel caso di risoluzioni numeriche di equazioni tramite griglie. Il laplaciano in un punto della griglia sarà nullo solamente se il valore scalare del punto sara uguale ai valori scalari dei punti vicini. Questo viene utilizzato nei metodi del rilassamento per risolvere le equazione di Poisson o l'equazione della diffusione.