Laplace-Operator
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Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis ein wichtiger Differentialoperator, der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er ist benannt nach Pierre-Simon Laplace.
Der Laplace-Operator erscheint beispielsweise in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.
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[Bearbeiten] Allgemeines
Für den Fall von n kartesischen Koordinatenvektoren ist er definiert als
Dabei ist der Nabla-Operator. Angewendet auf eine skalare Funktion φ ist auch die Schreibweise
möglich. Dabei wird das Resultat wieder eine skalare Funktion sein. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. Die Laplace-Operatoren in anderen Koordinatensystemen unterscheiden sich von demjenigen in kartesischen Koordinaten. Zu deren Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird.
[Bearbeiten] Laplace-Operator in 1 Dimension
Für eine Funktion φ(x) in einer Variablen ergibt die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.
[Bearbeiten] Laplace-Operator in 2 Dimensionen
Für eine Funktion φ(x,y) von zwei Variablen ergibt sich
in kartesischen Koordinaten mit
in Polarkoordinaten mit
oder
[Bearbeiten] Laplace-Operator in 3 Dimensionen
Für eine Funktion φ(x,y,z) von drei Variablen ergibt sich
in kartesischen Koordinaten mit
in Zylinderkoordinaten mit
in Kugelkoordinaten mit
Die Greensche Funktion des Laplace Operators hat die Form:
mit ΔF(x,x') = 0.
Es gilt dann: ΔGΔ(x,x') = δ(x − x') mit der Delta-Distribution δ. Die Greensche Funktion wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.
[Bearbeiten] Bemerkungen
Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewandt werden. wird dann ebenfalls ein Vektorfeld sein. In diesem Fall besteht folgender Zusammenhang :
Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung
auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.
Da die Hesse-Matrix die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen ist, ist der Laplace-Operator gerade die Spur der Hesse-Matrix.
Insbesondere im englischsprachigen Raum (und folglich in der englischsprachigen Literatur) wird der Laplace-Operator nicht mit dem Symbol "Δ" bezeichnet. Stattdessen wird die Schreibweise benutzt.
Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den d'Alembert-Operator:
Das kann man als eine Verallgemeinerung des Δ auf den Minkowski-Raum betrachten.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Der Laplace-Operator ist rotationssymmetrisch, das heißt ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und R eine Rotationsmatrix so gilt
wobei „“ für die Verkettung von Funktionen steht.
Siehe auch: Gradient, Divergenz, Rotation.
[Bearbeiten] Diskreter Laplace-Operator und Bildverarbeitung
- Hauptartikel: Laplacefilter
In der Bildverarbeitung wird der Laplace-Operator zur Kantendetektion eingesetzt. Eine Kante taucht als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auf ein diskretes Signal gn bzw. gnm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:
- 1D:
- 2D:
Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante:
- 2D:
Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten.
[Bearbeiten] Laplace-Beltrami-Operator
Der Laplace-Operator kann erweitert werden für Flächen, oder allgemeiner Riemannsche und pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator trägt den Namen Laplace-Beltrami-Operator. Er ist definiert wie der Laplace-Operator, also als Divergenz des Gradientenfeldes. Um ihn herzuleiten schreibt man zunächst die Divergenz des Gradienten auf einer Mannigfaltigkeit.
Wenn g für den (pseudo)-metrischen Tensors einer Mannigfaltigkeit steht, ist das Volumen-Element in lokalen Koordinaten gegeben durch
- ,
wobei die 1-Formen sind welche die Dualbasis zu den Basisvektoren
für das lokale Koordinatensystems bilden. is das Dachprodukt. Hier ist der Betrag der Determinante des metrischen Tensors. Die Divergenz eines Vektorfeldes X in einer Mannigfaltigkeit kann definiert werden als
- ,
wobei LX die Lie-Ableitung entlang des Vektorfeldes X ist. In lokalen Koordinaten erhält man
Hier (und weiter unten) wird die Summenkonvention benutzt, sodass in der obigen Gleichung über i summiert wird.
Der Gradient einer skalaren Funktion f kann definiert werden als inneres Produkt auf der Mannigfaltigkeit:
für alle Vektoren am Punkt x im Tangentialraum der Mannigfaltigkeit am Punkt x. Hier ist df die äußere Ableitung der Funktion f; sie ist eine 1-Form mit vx. In Lokalkoordinaten erhält man
Wenn man dies kombiniert, ist die Formel des Laplace-Beltrami-Operators angewandt auf einer skalaren Funktion f (in lokalen Koordinaten) die Folgende:
- .
Hier, sind gij die Komponenten des inversen metrischen Tensors g, sodass mit sich wie das Kronecker-Delta verhält.
Die obere Definition ist nur gültig für skalare Funktionen . Um den Laplace-Operator weiter, für Differenzialformen, zu verallgemeinern, muss der Laplace-deRham-Operator definiert werden.
Unter einer lokalen Parametrisierung u1,u2, kann der Laplace-Beltrami-Operator anhand des metrischen Tensors und der Christoffel-Symbole wie folgt erweitert werden:
Man kann zeigen, dass der Laplace-Beltrami-Operator in den gewöhnlichen Laplace-Operators des Euklidischen Raumes übergeht, wenn man bemerkt, dass er mithilfe der Kettenregel als
- umgeschrieben werden kann.
Wenn, wie im euklidischen Raum , | g | = 1 gilt, erhält man einfach
was wiederum der gewöhnliche Laplace-Operator ist. Wenn man die Minkowski-Metrik mit Signatur (+++-) benutzt, erhält man den D'Alembert-Operator. Wichtig ist, dass, wenn man den metrischen Tensor für Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten benutzt, der Laplace-Operator für Zylinder-, bzw. Kugelkoordinaten einfach hergeleitet werden kann, indem die Determinante der Funktionaldeterminante das Volumenelement ergibt. Somit ist der Laplace-Beltrami-Operator (und die Metrik) besonders nützlich für Koordinatentransformationen, nicht nur in gekrümmten Räumen, sondern auch im gewöhnlichen flachen Raum.
Man beachte, dass die äußere Ableitung d und -div adjungiert sind:
wobei die letzte Gleichung eine Anwendung des Stokesschen Satz darstellt. Darüberhinaus,ist der Laplace-Beltrami-Operator symmetrisch:
für Funktionen f and h.