Equazione di Poisson

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In matematica, l'equazione di Poisson è un'equazione alle derivate parziali con vaste utilità in elettrostatica, ingegneria meccanica e fisica teorica. Il suo nome deriva dal matematico, geometra, fisico francese Siméon-Denis Poisson.

L'equazione di Poisson è

$\Delta\varphi=f$

dove $Δ$ è l'operatore di Laplace, e f e φ sono funzioni reali o complesse su una varietà. Quanto la varietà è lo spazio euclideo, l'operatore di Laplace è spesso denotato con ${\nabla}^2$ e l'equazione di Poisson è scritta frequentemente come

${\nabla}^2 \varphi = f$

In coordinate cartesiane in tre dimensioni prende la forma

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

Per f nulle, questa equazione diventa l'equazione di Laplace

$\Delta \varphi = 0. \!$

Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:

$\varphi(\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{\frac{f(\mathbf{x'})}{\mid \mathbf{x}-\mathbf{x'} \mid}dV}$

integrata su x'.

La soluzione precedente è unica se valgono opportune condizioni al contorno. In particolare, se:

$V = \mathbb{R}^3 \mbox{ e } f \ne 0 \mbox{ in una regione limitata}$

allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:

$\lim_{r \to \infty} \varphi (\mathbf{x}) \mid \mathbf{x}-\mathbf{y} \mid = costante < \infty$

dove y è un punto arbitrario tale che:

$f(\mathbf{y}) \ne 0$ .

L'equazione di Poisson può essere risolta usando una funzione di Green. Esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il metodo di rilassamente, un algoritmo iterativo, è un esempio.

[modifica] Elettrostatica

Uno delle pietre angolari dell'elettrostatica è la formulazione e la risoluzione di problemi che sono descritti da un'equazione di Poisson. Trovare φ per una data f è un importante problema pratico, poiché questo è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico per una data distribuzione di cariche. Nelle unità SI:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

dove $\Phi \!$ è il potenziale elettrico (in volt). $\rho \!$ è la densità di carica (in coulomb su metri cubi), e $\epsilon_0 \!$ è la permeabilità del vuoto (in farad per metro).

In una regione di spazio dove non ci sono densità di carica, si ha

$\rho = 0, \,$

e l'equazione per il potenziale diventa un'equazione di Laplace:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

[modifica] Potenziale di una densità di carica gaussiana

Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria sferica gaussiana $ρ(r)$ :

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

dove Q è la carica totale, allora la soluzione Φ (r) dell'equazione di Poisson è:

${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }$

data da:

$\Phi(r) = \frac{ 1} {4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

dove erf(x) la funzione errore. Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di ${\nabla}^2 \Phi$ . Si noti che, per r maggiore di σ, erf(x) tende all'unità e il potenziale Φ (r) tende al potenziale di una carica puntiforme $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r}$ come ci si aspetta.

[modifica] Bibliografia

Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

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