Equazioni di Navier - Stokes

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Le equazioni di Navier-Stokes (da Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes) sono un sistema di un'equazione vettoriale e due equazioni scalari in grado di descrivere compiutamente il moto di pressoché ogni fluido.
A monte di tutto c'è l'ipotesi di fluido trattabile come un continuo deformabile.
La loro potenza si paga in termini di difficoltà di calcolo. Nel caso generale coinvolgono infatti cinque equazioni scalari differenziali alle derivate parziali e 20 variabili. Il bilancio tra equazioni e incognite avviene (come vedremo più avanti) con la definizione delle proprietà del fluido considerato, delle eventuali forze di campo in gioco e con considerazioni matematiche.
Inoltre le Navier-Stokes non ammettono quasi mai una soluzione analitica ma esclusivamente numerica.

[modifica] Derivazione delle Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono la formalizzazione matematica di tre principi fisici ai quali i fluidi, imposta la condizione di continuo deformabile, sono costretti a sottostare:

principio di conservazione della massa (equazione di continuità)
secondo principio della dinamica (bilancio della quantità di moto)
primo principio della termodinamica (bilancio dell'energia)

Per questo motivo sono spesso nominate anche "equazioni di bilancio".
Dal punto di vista puramente matematico le equazioni di Navier Stokes saranno scritte in forma euleriana. Denomineremo $τ$ il volume infinitesimo di controllo, e esso sarà delimitato dalla superficie $σ$ .
Verranno considerati flussi positivi quelli entranti in $τ$ e negativi quelli uscenti. Si definisce flusso netto la differenza tra i flussi uscenti e quelli entranti.
Nei successivi paragrafi indicheremo sempre il vettore 'velocità del fluido' con la notazione $\vec V$ , mentre $p$ e $ρ$ indicheranno rispettivamente la pressione statica e la densità del fluido stesso. Il simbolo $\vec a$ rappresenterà il vettore delle accelerazioni di campo.
Tutte le equazioni saranno scritte in forma indefinita.

[modifica] Principio di conservazione della massa

La variazione di massa in $τ$ nell'unità di tempo uguaglia la differenza tra i flussi di massa entranti e quelli uscenti (opposto del flusso netto).
Un generico flusso di massa attraverso una coppia di facce è considerato come il prodotto tra la densità $ρ$ del fluido e la componente della velocità in direzione perpendicolare alle facce considerate (il flusso di una componente attraverso facce parallele alla componente stessa è nullo).
Per l'ipotesi di elemento infinitesimo possiamo confondere il valore puntuale del flusso nel punto centrale di ogni faccia con il suo valore medio e calcolare il valore del flusso su una faccia a partire dal valore assunto sulla faccia precedente tramite una troncata di Taylor al primo ordine:

$\Phi_P=\rho u \qquad \Phi_Q=\rho u +\frac {\partial \rho u} {\partial x}$

Da cui, seguendo l'enunciato del principio otteniamo:

$\Phi_x=\Phi_Q-\Phi_P=\rho u + \frac {\partial \rho u} {\partial x}-\rho u=\frac {\partial \rho u} {\partial x}$

Estendendo il ragionamento alle altre direzioni otteniamo che il flusso totale $Φ$ sarà uguale a:

$\Phi=\frac {\partial \rho u} {\partial x}+\frac {\partial \rho v} {\partial y}+\frac {\partial \rho w} {\partial z}=\nabla \cdot \rho \vec V$

In definitiva il principio viene formalizzato come:

$\frac {\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec V = 0$

[modifica] Secondo principio della dinamica

La variazione nel'unità di tempo della quantità di moto del fluido contenuto nel volume di controllo $τ$ sommata al flusso netto di quantità di moto attraverso la superficie $σ$ uguaglia la risultante delle forze esterne agenti sull'elemento di fluido contenuto nel volumetto stesso.
I flussi di quantità di moto attraverso le varie facce dell'elementino in una direzione determinata è definito come il prodotto del flusso di massa precedentemente definito in direzione perpendicolare alla coppia di facce considerata moltiplicato per la componente di velocità nella stessa direzione. Applicando alle 3 direzioni e considerando le 3 coppie di facce dell'elementino di fluido otterremo:

$\Phi_x=\frac {\partial u \rho u} {\partial x}+\frac {\partial u \rho v} {\partial y}+\frac {\partial u \rho w} {\partial z}$ $\Phi_y=\frac {\partial v \rho u} {\partial x}+\frac {\partial v \rho v} {\partial y}+\frac {\partial v \rho w} {\partial z}$ $\Phi_z=\frac {\partial w \rho u} {\partial x}+\frac {\partial w \rho v} {\partial y}+\frac {\partial w \rho w} {\partial z}$

In forma vettoriale potremo scrivere:

$\vec \Phi=\vec V \nabla \vec V$

Questo termine, insieme alla derivata temporale della quantità di moto, forma il primo membro dell'equazione che formalizzerà in secondo principio della dinamica.
Il secondo membro raccoglie tutte le risultanti delle forze esterne agenti sul fluido nell'istante considerato. Tipicamente le forze considerate saranno:

Forze di pressione:

sono provocate dalle differenze di pressione presente alle facce dell'elementino infinitesimo di fluido considerato.

In condizioni di equilibrio le pressioni relative alle facce parallele del fluido sono uguali. L'incremento è valutabile per le tre direzioni come:

$P_x=-\frac {\partial p} {\partial x}$ $P_y=-\frac {\partial p} {\partial y}$ $P_z=-\frac {\partial p} {\partial z}$

Che in notazione vettoriale equivale a scrivere:

$P=-\nabla p$

Risultante degli sforzi viscosi:

sono generate dalla viscosità del fluido in moto rotazionale e agiscono normalmente e tangenzialmente alle facce dell'elementino di fluido :considerato.

Gli sforzi viscosi sono raggruppati in un tensore

S

le cui componenti saranno indicate con la notazione

S i j

, :volendo indicare con i la direzione parallela a quella dello sforzo e con j la direzione normale alla faccia su cui lo sforzo agisce.

Seguendo anche in questo caso il bilancio delle forze in ognuna delle tre direzioni potremo scrivere:

$F_{sx}= \frac {\partial S_{xx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{xy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{xz}} {\partial z}$ $F_{sy}= \frac {\partial S_{yx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{yy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{yz}} {\partial z}$ $F_{sz}= \frac {\partial S_{zx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{zy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{zz}} {\partial z}$

Risultante delle forze di campo:

le forze di campo tipicamente considerate in un moto di un fluido sono dovute alla gravità terrestre e sono quindi considerate come il prodotto tra la :densità del fluido in esame e del vettore $\vec a$ accelarazione di gravità.

In definitiva le tre equazioni scalari che definiscono il secondo principio della dinamica per i fluidi in moto si scrivono:

$\frac {\partial \rho u} {\partial t} + \frac {\partial u \rho u} {\partial x}+\frac {\partial u \rho v} {\partial y}+\frac {\partial u \rho w} {\partial z}=-\frac {\partial p} {\partial x} + \frac {\partial S_{xx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{xy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{xz}} {\partial z} + \rho a_x$ $\frac {\partial \rho v} {\partial t} + \frac {\partial v \rho u} {\partial x}+\frac {\partial v \rho v} {\partial y}+\frac {\partial v \rho w} {\partial z}=-\frac {\partial p} {\partial y}+\frac {\partial S_{yx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{yy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{yz}} {\partial z}+ \rho a_y$ $\frac {\partial \rho w} {\partial t} +\frac {\partial w \rho u} {\partial x}+\frac {\partial w \rho v} {\partial y}+\frac {\partial w \rho w} {\partial z}=-\frac {\partial p} {\partial z}+\frac {\partial S_{zx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{zy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{zz}} {\partial z}+ \rho a_z$

[modifica] Primo principio della termodinamica

La variazione nell'unità di tempo dell'energia totale del fluido contenuto nel volume di controllo sommata al flusso netto di energia totale attraverso le facce del volume di controllo uguaglia la somma della potenza delle forze agenti sull'elemento di fluido e del flusso netto di energia termica trasmessa all'elemento di fluido per conduzione Come si nota in questa formulazione viene trascurata l'energia trasmessa all'elemento per irraggiamento. Formalizzando matematicamente questo principio si sfrutterà il concetto di energia totale per unità di massa $E$ che è uno scalare definito come:

$E = e + \frac {1} {2} V^2$

cioè la somma tra l'energia interna delle molecole e l'energia meccanica degli elementini di fluido.
Nell'enunciato si parla di flusso netto di energia totale: come per la quantità di moto si indicherà questo flusso come il prodotto tra il flusso di massa e l'energia totale per unità di massa trasportata in ogni direzione:

$\Phi_E=\frac {\partial E \rho u} {\partial x} + \frac {\partial E \rho v} {\partial y} + \frac {\partial E \rho w} {\partial z}$

La potenza degli sforzi agenti sull'elementino di fluido considerato comprende sia la potenza sviluppata dagli sforzi viscosi del tensore $S$ sia gli sforzi associati alla pressione. Ricorrendo alla definizione di potenza come prodotto di una forza per una velocità, si potrà scrivere:

$P_S=\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)} {\partial x}+\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)} {\partial y}+\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)} {\partial z}$

per quanto riguarda gli sforzi viscosi, mentre per la pressione sarà:

$P_p=-\left(\frac {\partial p u} {\partial x} + \frac {\partial p v} {\partial y} + \frac {\partial p w} {\partial z}\right)$

La potenza delle forze di campo si definisce come:

P c = ρ a x u + ρ a y v ρ a z w

Per quanto riguarda la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso le facce dell'elementino è necessaria la definizione di un vettore $\vec q=[q_x, q_y, q_z]^T$ flusso termico. Sarà possibile scrivere:

$-\left(\frac {\partial q_x} {\partial x} + \frac {\partial q_y} {\partial y} + \frac {\partial q_z} {\partial z}\right)$

L'equazione completa che formalizza il primo principio della termodinamica per i fluidi in movimento sarà quindi:

$\frac {\partial \rho E} {\partial t} + \frac {\partial E \rho u} {\partial x} + \frac {\partial E \rho v} {\partial y} + \frac {\partial E \rho w} {\partial z} = -\left(\frac {\partial p u} {\partial x} + \frac {\partial p v} {\partial y} + \frac {\partial p w} {\partial z}\right) +$ $+ \frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)} {\partial x}+\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)} {\partial y}+\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)} {\partial z} +$ $+ \rho a_xu+\rho a_yv \rho a_zw - \left(\frac {\partial q_x} {\partial x} + \frac {\partial q_y} {\partial y} + \frac {\partial q_z} {\partial z}\right)$

[modifica] Osservazioni e chiusura del problema

Le 5 equazioni appena derivate sono insufficienti, da sole, alla chiusura del problema della determinazione del campo di moto del fluido. Infatti le 5 equazioni contengono 20 incognite:

densità
vettore velocità (3 incognite)
pressione
tensore degli sforzi viscosi $S$ (9 incognite)
vettore accelerazione di campo (3 incognite)
energia interna $e$
vettore flusso termico $\vec q$ , sempre riconducibile a una funzione di un coefficiente di conducibilità termica e della temperatura (2 incognite)

Queste equazioni sono del tutto generali e per la loro applicazione è necessaria una sorta di specializzazione delle stesse alla situazione di lavoro. Per la chiusura del problema è quindi necessario definire le proprietà termofisiche del fluido in esame (che permettono di definire la conducibilità termica, la densità, l'energia interna e una o più equazioni di stato in grado di determinare anche temperatura e pressione) e il campo di forze in cui si muove (determinando il vettore di accelerazioni di campo). Inoltre si osserva che il tensore degli sforzi viscosi $S$ è simmetrico, con la conseguenza che le incognite effettivamente contenute sono 6 e non 9 e sono determinabili sperimentalmente o teoricamente specificando il tipo di fluido. Saranno successivamente necessarie le condizioni iniziali e le condizioni al contorno, trattandosi di equazioni differenziali (problema di Cauchy o problema di Von Neumann).

[modifica] Voci correlate

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