Navier-Stokesova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Navier-Stokesova rovnice je rovnice popisující proudění nestlačitelné Newtonské tekutiny. Rovnici odvodili Francouz Claude Louis Marie Henri Navier a Ir George Gabriel Stokes v letech 1827 a 1845 nezávisle na sobě.

Obsah

1 Odvození
2 Řešení
3 Použití
4 Literatura
5 Podívejte se také na

[editovat] Odvození

Rovnici lze odvodit z bilance sil působících na tekutinu. Navier-Stokesova rovnice je však speciálním případem obecné Cauchyho pohybové rovnice tekutiny, z níž lze Navier-Stokesovu rovnici odvodit dosazením tenzoru napětí pro Newtonskou tekutinu. Navier-Stokesova rovnice se dá zapsat několika způsoby, například následovně

$\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=-\frac{1}{\varrho}\nabla p+\nu\nabla^2\vec{u}+\vec{f}$

Význam jednotlivých členů:

místní zrychlení + konvektivní zrychlení = zrychlení způsobené tlakovým spádem (gradientem)+ zrychlení potřebné k překonání třecích sil + zrychlení způsobené objemovými silami

Symboly: $\vec{u}$ je rychlost, $p$ je tlak, $t$ je čas, $\varrho$ je hustota, $ν$ je kinematická viskozita, $\vec{f}$ je součet objemových sil (často jen tíhové zrychlení $\vec{g}$ ), $\nabla$ je operátor nabla, $\cdot$ je symbol skalárního součinu.

[editovat] Řešení

Navier-Stokesova rovnice je analyticky řešitelná jen v několika málo případech jednoduchých toků. Ve složitějších případech je nutno rovnici řešit numericky.

Nadace Clayova matematického institutu zařadila vyřešení Navier-Stokesovy rovnice na seznam sedmi nejdůležitejších matematických problémů. Na každý z nich je vypsána odměna milion dolarů.