Tensore

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In matematica un tensore è un elemento di un prodotto tensoriale, un particolare tipo di entità geometrica o, alternativamente, una 'quantità' generalizzata, le cui proprietà vengono studiate dall'algebra tensoriale. Il concetto di tensore generalizza ed estende l'idea di scalare, vettore ed operatore lineare.

I tensori possono essere rappresentati in termini di sistema di coordinate come vettori di scalari, in termini matematici come una matrice, ma sono definiti in modo tale da permettere la scrittura di equazioni indipendenti da qualsiasi sistema di riferimento scelto.

Ogni tensore possiede un ordine, concettualmente vicino alla dimensione, in pratica identificativo del numero di vettori necessari a definirlo. Possiamo pensare allo scalare (o invariante) come un tensore di ordine zero ed al vettore come tensore di ordine uno. In termini matriciali l'ordine di un tensore è pari all'ordine della matrice necessaria a rappresentarlo, ossia del numero di variabili necessarie per individuare una sua componente.

È da sottolineare come l'insieme dei vettori necessari a costruire un tensore o la mera rappresentazione matriciale dei suoi componenti non sono la stessa cosa del tensore. La massa non è un numero, ma assume significato solo se associata ad un'unità di massa. Un tensore assume significato quando inserito in un sistema di riferimento, ma permette di scrivere equazioni dal significato indipendente dal sistema di riferimento.

Tensori famosi sono il tensore degli sforzi in scienza delle costruzioni, atto a definire lo stato tensionale in ogni punto di una determinata struttura; altro esempio è il tensore fondamentale: $g νμ$ della teoria della relatività generale, tensore covariante del secondo ordine, in quanto le sue componenti sono gli elementi di una matrice.

Indice

1 Controvarianza
2 Convenzioni
3 Covarianza
4 Tensore misto
- 4.1 Contrazione del tensore misto
5 Tensore simmetrico
- 5.1 Tensore emisimmetrico
- 5.2 Tensore isotropo
  - 5.2.1 Tensore identità
6 Voci correlate
7 Bibliografia

[modifica] Controvarianza

La controvarianza è una proprietà dei tensori. Per esemplificarla al meglio, partiamo con un vettore controvariante, ad esempio un quadrivettore, ed estenderemo poi il concetto ai tensori. L'elemento lineare dello spaziotempo $d x ν$ , che definisce la metrica del sistema di riferimento, al variare dello stesso si trasforma secondo la legge:

$dx'^{\sigma}=\sum_\nu \frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}dx^\nu$ .

Ognuna delle $d x' σ$ è una forma differenziale lineare omogenea. Consideriamo allora questi differenziali come le componenti di un tensore del primo ordine, un quadrivettore. Si definisce allora quadrivettore controvariante un vettore A le cui componenti si trasformano, al variare del sistema di riferimento, secondo la legge

$A'^{\sigma}=\sum_\nu \frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}A^\nu$ .

Per ottenere un tensore controvariante del secondo ordine, moltiplichiamo tra loro tutte le componenti di due quadrivettori controvarianti A^ν e B^μ. I 16 prodotti costituiscono le componenti di un tensore controvariante del secondo ordine. Questa relazione si indica come

A νμ = A ν B μ

La legge di trasformazione delle sue coordinate si ricava facilmente tenendo presente quella dei due vettori originari A e B, e risulta essere:

$A'^{\sigma \tau}=\sum_{\nu, \mu} \frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}A^{\nu\mu}$ .

È possibile dimostrare che, dato un qualunque tensore di ordine n, esso può essere scomposto in n vettori nel modo indicato sopra.

[modifica] Convenzioni

Come si nota dalle formule precedenti, la sommatoria si esegue sulle variabili che compaiono due volte. È consuetudine omettere il simbolo di sommatoria quando essa è eseguita secondo tale regola, mentre nelle eccezioni viene invece scritta esplicitamente. Riscriviamo dunque

$1) \,\,\, A'^{\sigma}= \frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}A^\nu$

$A'^{\sigma \tau}= \frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\nu}\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}A^{\nu\mu}$

Inoltre, per i tensori controvarianti è d'uso comune mettere gli indici in alto e per i covarianti in basso. Come vedremo, questo ricalca la posizione degli indici nelle formule di trasformazione.

[modifica] Covarianza

Per definire un tensore covariante, seguiremo lo stesso procedimento visto per il controvariante. Consideriamo dunque un quadrivettore A: esso si definisce covariante se, preso un qualunque quadrivettore controvariante B, si ha:

$A_{\nu}B^{\nu}=\operatorname{invariante}$

Per ricavare la legge di trasformazione del quadrivettore covariante, consideriamo l'equazione

A' σ B' σ = A ν B ν

in cui seguiamo le convenzioni di cui sopra per le somme e gli indici. Sostituendo alle componenti B^ν le loro espressioni

$B^\nu= \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\sigma}B'^{\sigma}$

ricavate invertendo la relazione (1), otteniamo

$A'_\sigma B'^{\sigma} = B'^{\sigma}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\sigma}A_\nu$

Per la generalità delle B'^σ, ottengo allora:

$A'_\sigma = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\sigma}A_\nu$

I tensori covarianti del secondo ordine o superiore, si ottengono nello stesso modo dei controvarianti, e si indicano

A νμ = A ν B μ

Similmente, la legge di trasformazione risulta essere

$A'_{\sigma \tau}= \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\sigma}\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\tau}A_{\nu\mu}$

[modifica] Tensore misto

Si definisce un tensore misto del secondo ordine il tensore

$A_\mu^\nu = A_\mu B^\nu$

che è covariante rispetto all'indice μ e controvariante rispetto all'indice ν. La legge di trasformazione per il tensore misto, come si ricava facilmente, risulta essere

$A ^{' \tau} _\sigma = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\sigma}\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\mu}A_\nu ^\mu$ .

Generalizzando, possiamo avere tensori misti con qualunque numero di indici covarianti e controvarianti. Inoltre, è possibile considerare i tensori "puri" come casi particolari dei tensori misti.

[modifica] Contrazione del tensore misto

Dato un tensore misto di ordine n, è possibile ottenere un tensore di ordine n-2, facendo variare contemporaneamente un indice covariante e uno controvariante. Ad esempio dal tensore misto del quarto ordine $A_{\nu\mu}^{\sigma \tau}$ , si può ricavare un tensore misto del secondo ordine in questa maniera:

$A_\alpha ^\beta=A _{\nu \alpha}^{\nu \beta} = \sum_\nu A _{\nu \alpha}^{\nu \beta}$

Che il risultato sia un tensore, è evidente considerando la scomposizione di un tensore in prodotto di vettori e ricordando la definizione di tensore covariante.

[modifica] Tensore simmetrico

Un tensore del secondo ordine o superiore è detto simmetrico quando le sue componenti non cambiano invertendo due indici qualsiasi. In formule, per un tensore del secondo ordine questo significa

A μν = A νμ

Similmente, per un tensore del terzo ordine, si ha la relazione

A μντ = A μτν

Verifichiamo che la simmetria si mantenga con un cambio di coordinate: applicando le regole già viste, si ricava facilmente

$A ^{' \sigma \tau}= \frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\mu}\frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\nu}A^{\mu \nu}= \frac{\partial x'^\tau}{\partial x^\nu}\frac{\partial x'^\sigma}{\partial x^\mu}A^{ \nu \mu}=A ^{' \tau \sigma }$

[modifica] Tensore emisimmetrico

Un tensore emisimmetrico ha la proprietà per cui scambiando tra loro due indici, le componenti restano uguali in modulo ma hanno segno opposto. In formule, per un tensore del secondo ordine

A νμ = - A μν

Come conseguenza, gli elementi del tipo $A αα$ , dovendo essere uguali al loro opposto, sono tutti nulli: se lo rappresentiamo come una matrice, sarà nulla la diagonale principale. Per il terzo ordine o superiore, invece, abbiamo nulli tutti gli elementi che hanno almeno due indici uguali. Nel caso dei tensori utilizzati in fisica, a quattro coordinate, un tensore del secondo ordine emisimmetrico ha solamente sei componenti indipendenti, e viene pertanto detto esavettore. Sempre nel caso di continuum a quattro dimensioni, un tensore emisimmetrico del terzo ordine ha solo 4 elementi non nulli (indipendenti), che si riducono ad uno solo per uno del quarto ordine. Non esistono tensori emisimmetrici di ordine superiore al quarto in un continuum quadridimensionsale.

I tensori emisimmetrici sono a volte detti antisimmetrici, per assonanza con il termine ingelese "Antisymmetric tensor"

[modifica] Tensore isotropo

Un tensore è isotropo se sono presenti solo elementi sulla diagonale (e sono nulli tutti gli altri); per la rappresentazione matematica si usa l'operatore di Kronecker : $T_{is} = \delta_{ij} b\,\!$