Congettura di Goldbach
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In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Esso afferma:
- Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. (Lo stesso numero primo può essere usato due volte)
Per esempio,
- 4 = 2 + 2
- 6 = 3 + 3
- 8 = 3 + 5
- 10 = 3 + 7 = 5 + 5
- 12 = 5 + 7
- 14 = 3 + 11 = 7 + 7
- etc.
Indice |
[modifica] Origini
Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Leonhard Euler in cui propose la seguente congettura:
- Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.
Euler, interessandosi al problema, rispose con una versione più forte della congettura:
- Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto nella somma di due numeri primi.
La prima delle due è oggi conosciuta come congettura "debole" di Goldbach, la seconda come congettura "forte" di Goldbach. (L'enunciato della versione forte implica quello della congettura debole, poiché ogni numero dispari maggiore di 5 può essere ottenuto aggiungendo 3 ad ogni numero pari maggiore di 2). Si conviene che il termine congettura di Goldbach sia sinonimo di congettura forte di Goldbach. Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi.
[modifica] Risultati
La congettura di Goldbach è stata attaccata da molti teorici dei numeri. La maggior parte dei matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi: più grande è il numero pari, più diventa probabile che possa essere scritto come somma di due primi.
Intorno al 1930 furono compiuti alcuni progressi. Dapprima, nel 1937, Ivan Vinogradov dimostrò che ogni numero pari 
è somma di tre primi, e che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi (nel senso che la frazione dei numeri che possono essere scritti in tal modo tende ad 1). In particolare, l'insieme dei numeri che non soddisfano le ipotesi di Vinogradov ha densità 0.
Nel 1938, T. Estermann mostrò che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi, e N. Pipping verificò laboriosamente la congettura per tutti gli n ≤ 10,000. Successivamente L.G. Schnirelmann provò nel 1939 che ogni numero pari n ≥ 4 può essere scritto come somma di al più 300000 numeri primi. Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi ricercatori. Il risultato più forte attualmente disponibile, dimostrato da Olivier Ramaré nel 1995, è che ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più 6 numeri primi.
I matematici successivi hanno sviluppato altri approcci. Un metodo tenta di dimostrare che "ogni numero pari maggiore di 4 può essere scritto come somma di c primi". Un'ulteriore generalizzazione sulle stesse linee sarebbe quella di dimostrare che "ogni multiplo di c maggiore di c stesso può essere scritto come somma di c primi". In entrambe le formulazioni, la congettura di Goldbach è il caso speciale dove c = 2. Un altro metodo tenta di dimostrare che "ogni numero pari può essere scritto come somma di un numero i cui fattori primi sono in numero non superiore ad a e un numero i cui fattori primi sono in numero non superiore a b". Questa è chiamata "proposizione (a+b)". In questo approccio, la congettura di Goldbach è il caso speciale dove a = 1 e b = 1; cioè, quando entrambi i numeri sono primi. Quella di Goldbach sarebbe insomma la "proposizione (1+1)".
Chen Jingrun mostrò nel 1966 che ogni numero pari abbastanza grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo ed un semiprimo (il prodotto di due primi[1] —per esempio, 100 = 23 + 7·11.
H.A. Pogorzelski diffuse una dimostrazione della congettura nel 1977, che però non è generalmente accettata nella comunità matematica.
T. Oliveira e Silva gestisce un progetto di calcolo distribuito che ha finora verificato la congettura fino a 4 × 1017 (aggiornato a giugno 2006).
[modifica] Curiosità
Il Matematico Automatico di Doug Lenat riscoprì la congettura di Goldbach nel 1982. Questa è considerata una delle prime constatazioni del fatto che gli strumenti della intelligenze artificiali sono capaci di compiere scoperte scientifiche.
Nel 2000, allo scopo di pubblicizzare il libro Lo zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis, l'editore britannico Tony Faber offrì un premio di 1.000.000 di dollari per una dimostrazione della congettura. Il premio sarebbe stato assegnato solo per dimostrazioni inviate per la pubblicazione entro aprile 2002. Il premio non fu mai reclamato.
[modifica] Voci correlate
[modifica] Collegamenti esterni
- Goldbach's conjecture, parte delle Prime Pages di Chris Caldwell.
- A million-dollar maths question. Articolo di Anjana Ahuja in The Times, 16 marzo, 2000.
- Help verify the Goldbach conjecture, La ricerca distribuita gestita da T. Oliveira e Silva.
- Online tool per verificare la congettura di Goldbach su interi che vengono richiesti.
[modifica] Note e riferimenti
- ↑ J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica 16 (1973), 157--176.
[modifica] Bibliografia
- Zio Petros e la Congettura di Goldbach (1992), di Apostolos Doxiadis, Bompiani (ISBN 8845248615)
