השערת גולדבך
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
השערת גולדבך (Goldbach's conjecture) היא בעיה פתוחה בתורת המספרים, שזו לשונה: "כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים".
מקור הבעיה במכתב ששלח המתמטיקאי הפרוסי כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר בו הוא מציג את ההשערה הבאה: "כל מספר אי זוגי גדול מ-5 ניתן להצגה כסכום של שלושה מספרים ראשוניים". ניסוח זה ידוע כיום כגרסה החלשה של השערת גולדבך. במכתב התשובה הציע אוילר את הגרסה הנוכחית של הבעיה שנקראת גם "הגרסה החזקה של השערת גולדבך". הגרסה החזקה של ההשערה גוררת את הגרסה החלשה מכיוון שאם כל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום שני ראשוניים אז ניתן להציג כל מספר אי זוגי גדול מ-5 כסכום של שלושה ראשוניים בדרך הבאה: מפחיתים מהמספר את הערך 3 ואת ההפרש מציגים כסכום של שני ראשוניים.
ההשערה נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד 
. ההערכה המקובלת היא שההשערה נכונה, בהתבסס על התפלגותם של המספרים הראשוניים: ככל שמספר זוגי גדול יותר, כך סביר יותר שניתן להציגו כסכום של שני ראשוניים. מובן שזו הערכה בלבד, ואין זו הוכחה.
[עריכה] תוצאות חלקיות
- בהסתמך על עבודתו של וינוגרדוב על הגרסה החלשה של השערת גולדבך, הראה Theodor Estermann ב- 1938 שכמעט כל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של שני ראשוניים (במובן הבא: שכיחותם של המספרים שאינם ניתנים להצגה כזו שואפת לאפס).
- ב-1939 הוכיח שנילרמן שהצפיפות של קבוצת המספרים הניתנים להצגה היא חיובית, והסיק מכך שכל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של 300000 ראשוניים לכל היותר. שיפורים רבים בכיוון זה הביאו לתוצאה הנוכחית (Olivier Ramare, 1995) שכל מספר זוגי ניתן להציג כסכום של ששה ראשוניים.
- ב-1966 הוכיח Chen Jingrun בעזרת שיטת הנפה, שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של ראשוני ושל מספר בעל שני גורמים ראשוניים לכל היותר.
- ב-2002 הראו Roger Heath-Brown ו- J.C. Puchta שכל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים, ועוד בדיוק 13 חזקות של 2. במלים אחרות, אפשר להציג כל מספר זוגי כסכום של שני ראשוניים, עם 13 טעויות בינריות.
[עריכה] לקריאה נוספת
- אפוסטולוס דוקסיאדיס, הדוד פטרוס והשערת גולדבך, ספר פרוזה (רומן) על מתמטיקאים העוסקים במשפט.
