Проблема Гольдбаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Проблема Гольдбаха — это одна из самых старых до сих пор не разрешённых проблем математики. При этом она очень просто формулируется:

Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Например,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 7 + 5

14 = 3 + 11 = 7 + 7

и так далее.

[править] История

В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется слабой проблемой Гольдбаха, второе — сильной проблемой Гольдбаха (или проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера).

Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число > 4 есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа > 7.

[править] Слабая проблема Гольдбаха

Слабая проблема Гольдбаха формулируется так:

Каждое нечётное число больше 7 можно представить в виде суммы трёх нечётных простых.

Эквивалентная формулировка:

Каждое нечётное число больше 5 можно представить в виде суммы трёх простых.

(Каждое простое число может встречаться больше одного раза).

Утверждение этой проблемы пока не доказано, хотя проведено много полезных попыток. В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году, Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бородин доказал, что оно не превышает . Это число содержит 6 миллионов цифр, что делает невозможным прямую проверку всех меньших чисел. В дальнейшем этот результат многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до , что тем не менее по-прежнему вне пределов явной проверки меньших чисел.

В 1997 году Deshouillers, Effinger, Te Riele (?) и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих 10²⁰, справедливость утверждения для меньших чисел легко проверить на компьютере.

[править] Сильная проблема Гольдбаха

Сильная проблема Гольдбаха формулируется так:

Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Сильная проблема Гольдбаха далека от решения.

Виноградов в 1937 и Теодор Эстерманн в 1938 г. показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 Хьюгом Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воганом (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает CN^{1 − c}.

В 1939, Л. Г. Шнирельманн (L. G. Schnirelmann) доказал, что любое чётное число представимо в виде суммы не более 300 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался. В 1995 Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более 7 простых чисел.

В 1966 Чен Жингран (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, .

На март 2004 года, сильная гипотеза Гольдбаха проверена для всех чётных чисел, не превышающих .

[править] Литература

• А. Доксиадис, «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», Пер. с англ. М. Левина. - М.: АСТ, 2002.
• С.Петров, «Абсолютное программирование. Рекурсия» - пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.