Stirling-formula

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

ahol e a természetes logaritmus alapja a $\sim$ jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűségszámításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják.

Jobb közelítést kapunk, ha a Stirling-féle aszimptotikus sort használjuk:

$n! \sim \left( {\frac{n}{e}} \right)^n \sqrt {2\pi n} \left( {1 + \frac{1}{{12n}} + \frac{1}{{288n^2 }} - \frac{{139}}{{51840n^3 }} - \ldots } \right)$

A faktoriális logaritmusának sorfejtése a következő:

$\ln n! = \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\ln n - n + \frac{1}{2}\ln 2\pi + \frac{1}{{12n}} - \frac{1}{{360n^3 }} + \frac{1}{{1260n^5 }} - \ldots$

[szerkesztés] Bizonyítás

A formula és annak hibája levezethető a következő módon. A bizonyítást n! logaritmusával kezdjük:

$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ldots + \ln n$

Ezután felhasználva az Euler-Maclaurin képletet f(x) = ln(x) módon Keressük a közelítő képletet ln(n!)-ra.

$\ln (n-1)! = n \ln n - n + 1 + \frac{\ln n}{2} + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)} \left( \frac{1}{n^{k-1}} - 1 \right) + R$

ahol B_k a Bernoulli-féle számokat jelöli és R az Euler-Maclaurin formula maradéktagja.

Mindkét oldal határértékét véve,

$\lim_{n \to \infty} \left( \ln n! - n \ln n + n - \frac{\ln n}{2} \right) = 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R$

A fenti határértéket y-nal jelölve kapjuk a közelítő képlet logaritmikus alakját:

$\ln n! = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln n - n + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right)$

ahol O(f(n)) az O jelölés.

Tegyük mindkét oldalt exponenciálissá, és válasszunk egy pozitív egész m-met, mondjuk legyen ez 1. Így a következő alakban kapjuk a formulát egy ismeretlen e^y szorzótényezővel.

$n! = e^y \sqrt{n}~{\left( \frac{n}{e} \right)}^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right)$

Az ismeretlen e^y tényezőt meghatározhatjuk, ha vesszük mindkét oldal határértékét és felhasználjuk a Wallis szorzatot. Így e^y-ra $\sqrt{2 \pi}$ -t kapunk, és ezzel bebizonyítottuk Stirling formuláját: