הרחבת שדות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה ובעיקר בתורת השדות, הרחבה של שדות מתארת מצב שבו שדה אחד מוכל בשדה אחר, באופן שפעולות החיבור והכפל בשדה הגדול מסכימות עם אלו המוגדרות בשדה הקטן. השדה המוכל נקרא שדה הבסיס.

לאמירה שהשדה הקטן הוא תת שדה של השדה הגדול יש אותה משמעות; מתייחסים להכלה $\ F \subseteq K$ של שדות כאל הרחבה כאשר הדגש הוא על האופן שבו נבנה השדה הגדול $\,K$ מן השדה הקטן $\,F$ , וכאל תת שדה במקרה ההפוך, שבו רוצים להבדיל את אברי $\,F$ משאר האברים של $\,K$ . זוהי אבחנה מתודית בלבד, ואין לה משמעות מתמטית.

את העובדה שהשדה $\ K$ הוא הרחבה של השדה $\ F$ מסמנים בצורה $\ K/F$ .

הרחבה היא בדרך כלל תהליך אלגברי, שבו מוסיפים לשדה הבסיס $\,F$ איברים חדשים. יש דרכים אחרות לבנות הרחבות, כאשר שדה הבסיס מצויד במבנה נוסף, כגון סדר או הערכה - ראו השלמה של שדה.

תוכן עניינים

1 דוגמאות
2 יוצרים של הרחבה
- 2.1 הרחבות פשוטות
3 אלגבריות וממד
- 3.1 פירוק למרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי
4 ספרביליות
- 4.1 פירוק למרכיב ספרבילי ומרכיב לא ספרבילי טהור
5 חבורת האוטומורפיזמים
6 ראו גם

[עריכה] דוגמאות

להלן כמה דוגמאות להרחבות של שדות; המושגים יוסברו בהרחבה בהמשך.

$\ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}[\cos(20^{\circ})]$ , הרחבה פשוטה מממד 3.
$\ \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}=\mathbb{R}[\sqrt{-1}]$ , הרחבה פשוטה מממד 2.
ההרחבה של שדה המספרים האלגבריים מעל הרציונליים - אלגברית, אבל אינה נוצרת סופית.
$\ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$ - הרחבה זו אינה אלגברית, ואינה נוצרת סופית.
אם $\ \overline{F}$ הוא הסגור האלגברי של $\,F$ , אז ההרחבה $\ F\subseteq \overline{F}$ אלגברית, אבל בדרך כלל אינה נוצרת סופית.
אם $\ F_{\mbox{sp}}$ הוא הסגור הספרבילי של $\,F$ , אז ההרחבה הראשונה בשרשרת $\ F\subseteq F_{\mbox{sp}} \subseteq \overline{F}$ היא ספרבילית, והשנייה היא לא-ספרבילית טהורה.
שדה הפונקציות הרציונליות $\ F(x)$ הוא הרחבה טרנסצנדנטית פשוטה של $\,F$ .
$\ \mathbb{F}_3(t)[x]/<x^3-x-t>$ היא הרחבת גלואה מממד 3 של $\ \mathbb{F}_3(t)$ .
$\ \mathbb{F}_3(t)[x]/<x^3-t>$ היא הרחבה לא-ספרבילית פשוטה מממד 3 של $\ \mathbb{F}_3(t)$ .

[עריכה] יוצרים של הרחבה

לכל הרחבה יש קבוצת יוצרים: תת קבוצה $\,S$ של $\,K$ היא קבוצת יוצרים של ההרחבה $\ K/F$ , אם אין ל- $\,K$ אף תת-שדה המכיל את $\,F$ ואת $\,S$ , מלבד $\,K$ עצמו, כלומר K הוא השדה המינימלי שמכיל גם את השדה F וגם את איברי S. במקרה כזה אפשר לכתוב $\ K=F(S)$ , ואם $\ S=\{a_1,\dots,a_n\}$ כותבים גם $\ K=F(a_1,\dots,a_n)$ . אם $\,F$ תת-שדה של שדה $\,E$ המכיל גם קבוצת איברים $\,S$ , אז $\ F(S)$ הוא תת-השדה הקטן ביותר של $\,E$ המכיל את $\,F$ ואת $\,S$ .

מבחינים בין כמה סוגים של הרחבות. ראשית, ההרחבה נוצרת סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית, ואינה נוצרת סופית אם אין לה קבוצת יוצרים כזו. אם $\,F$ שדה אינסופי וההרחבה נוצרת סופית, אז העוצמה של $\,K$ שווה לזו של $\,F$ . לדוגמה, כיוון שהעוצמה של שדה המספרים הממשיים $\ \mathbb{R}$ גדולה מזו של שדה המספרים הרציונליים $\ \mathbb{Q}$ , ההרחבה $\ \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ אינה נוצרת סופית.

[עריכה] הרחבות פשוטות

הרחבה $\ K/F$ היא הרחבה פשוטה אם היא נוצרת על-ידי איבר אחד. הרחבות כאלה אפשר ללמוד באופן הבא, שמדגים את ההבדל בין הרחבות אלגבריות לשאינן כאלה.

נניח ש- $\ K=F(a)$ , כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את $\,F$ ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר הומומורפיזם מחוג הפולינומים $\ F[\lambda]$ לשדה K, על-ידי הצבה: $\ f(\lambda)\mapsto f(a)$ . תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא תחום שלמות. מכאן נובע שהגרעין של ההומומורפיזם הוא אידאל ראשוני. יש שתי אפשרויות: יתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במלים אחרות, a טרנסצנדנטי, ואז התמונה של הומומורפיזם ההצבה היא חוג הפולינומים $\ F[a]$ , שאינו שדה. האפשרות האחרת היא שהגרעין אינו אפס; במקרה זה, מכיוון שחוג הפולינומים הוא אוקלידי, האידאל חייב להיות אידאל מקסימלי, והתמונה שלו שווה ל-K. הגרעין נוצר על-ידי פולינום אי-פריק f מעל $\,F$ , שהוא הפולינום המינימלי של a.

[עריכה] אלגבריות וממד

שדה-הרחבה K הוא תמיד מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס, כאשר פעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל בשדה הגדול (מצומצמת מפעולה $\ K\times K\rightarrow K$ לפעולה $\ F\times K\rightarrow K$ ). בפרט, יש להרחבה ממד $\ [K:F]$ , שהוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות שימושית: אם $\ F\subseteq K \subseteq E$ , אז $\ [E:K][K:F]=[E:F]$ .

איבר a של K הוא איבר אלגברי אם קיים פולינום בעל מקדמים ב- $\,F$ , אשר a הוא שורש שלו. אם כל האיברים של K הם אלגבריים, אומרים שההרחבה היא הרחבה אלגברית. כל הרחבה אלגברית נוצרת סופית היא בעלת ממד סופי, וכל הרחבה בעלת ממד סופי היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית. לעומת זאת, קיימות הרחבות אלגבריות שאינן נוצרות סופית, כמו זו של שדה המספרים הניתנים לבניה מעל הרציונליים, או של הסגור האלגברי של שדה סופי, מעל השדה.

אם $\ S \sub K$ היא תת-קבוצה כלשהי, הסימון $\ F[S]$ מתאר את תת-החוג הקטן ביותר של K המכיל את F ואת S (בהשוואה ל- $\ F(S)$ , שהוא תת-השדה הקטן ביותר; כמובן $\ F[S]\subseteq F(S)$ ). אם כל האיברים של הקבוצה S אלגבריים, אז $\ F[S]$ הוא שדה, ובמקרה זה $\ F(S)=F[S]$ .

[עריכה] פירוק למרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי

אוסף האברים האלגבריים ב-K מהווה תת-שדה שלו, הנקרא הסגור האלגברי היחסי של $\,F$ ב-K. בהרחבה אלגברית, כמו $\ K=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$ , הסגור הזה הוא K. אם אין ב- K אף איבר אלגברי פרט לאברי $\,F$ , (כלומר, $\,F$ הוא הסגור האלגברי היחסי), אומרים ש- $\,F$ סגור אלגברית בהרחבה. (אין פירושו של דבר ש- $\,F$ הוא שדה סגור אלגברית, אלא רק שבמובן מסוים, החיתוך של K עם הסגור האלגברי של $\,F$ שווה ל- $\,F$ ). מקרה חשוב במיוחד של יחס זה בין השדות הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, שהיא הרחבה בה קיימת קבוצת יוצרים שאבריה אינם מקיימים אף יחס (כלומר, לא קיים פולינום בכמה משתנים, שאם מציבים בו יוצרים שונים מתקבל אפס).

כל הרחבה אפשר לפרק לשרשרת של הרחבות $\ F\subseteq F_1 \subseteq K$ , כאשר $\ F\sub F_1$ היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, ואילו $\ F_1 \subseteq K$ אלגברית; אם ההרחבה המקורית נוצרת סופית, להרחבת ביניים זו יהיה ממד סופי. למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי של $\ F_1/F$ קוראים דרגת הטרנסצנדנטיות של ההרחבה $\ K/F$ . הפירוק אפשרי רק בסדר זה: בדרך כלל אי-אפשר לפרק הרחבות כך שקודם יבוא המרכיב האלגברי, ואז המרכיב הטרנסצנדנטי. אם ההרחבה $\ F \subseteq K$ אלגברית, אז הפירוק יהיה $\ F=F_1\subseteq K$ , שהרי K אינו מכיל אף איבר טרנסצנדנטי מעל $\,F$ .

דוגמה: נסמן ב- $\ F=\mathbb{F}_2$ את השדה הסופי בן שני אברים, ונסמן ב- x,y שני משתנים מעל שדה זה, המקיימים את היחס $\ y^2+y=x^3+1$ , שאותו נסמן באות E. שדה הפונקציות של העקום האליפטי E הוא, על-פי ההגדרה, $\ K=F(x,y|y^2+y=x^3+1)$ . השדה $\,F$ סגור אלגברית ב-K, ועם זאת ההרחבה אינה טרנסצנדנטית טהורה (מפני שהיוצרים x,y קשורים זה בזה ביחס E). לשדה זה יש תת-שדה $\ F_1 = F(x)$ , שהוא הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 מעל $\,F$ , וההרחבה $\ K/F_1$ בעלת ממד 2.

[עריכה] ספרביליות

בהרחבה אלגברית יש שני סוגים של אברים: אלו שהפולינום המינימלי שלהם ספרבילי, ואלו שאינם כאלה. אברים לא-ספרביליים יכולים להתקיים רק כאשר המאפיין של שני השדות הוא ראשוני, p. הרחבה שבה כל אברי K הם ספרביליים נקראת הרחבה ספרבילית של שדות; כל הרחבה במאפיין אפס היא ספרבילית, אבל יש גם הרחבות ספרביליות במאפיין $\ 0<p$ . לדוגמה, כל הרחבה שבה השדה הגדול סופי היא ספרבילית. לפי הלמה של שטייניץ, כל הרחבה ספרבילית נוצרת סופית היא הרחבה פשוטה (כלומר, אפשר להחליף מספר סופי של יוצרים ספרביליים ביוצר אחד).

[עריכה] פירוק למרכיב ספרבילי ומרכיב לא ספרבילי טהור

אוסף האברים הספרביליים מהווה תת-שדה של K, הנקרא הסגור הספרבילי של $\,F$ ב-K (ומוכל כמובן בסגור האלגברי היחסי). אם כל האברים של K (פרט לאלו של $\,F$ ) אינם ספרביליים מעל $\,F$ , אז ההרחבה היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.

בהמשך הסעיף נניח שהשדות ממאפיין p ראשוני. אוסף חזקות-p בשדה K מהווה תת-שדה שלו, אותו מסמנים ב- $\ K^p$ . באופן זה אפשר ליצור שרשרת יורדת של שדות, $\ ...\subseteq K^{p^2}\subseteq K^p\subseteq K$ , שאת חיתוכה מסמנים ב- $\ K^{p^{\infty}}$ . אם הממד $\ K/F$ סופי, הסדרה חייבת כמובן להתייצב. ההרחבה $\ K/K^{p^n}$ היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.

ההרחבה $\ K/F$ היא ספרבילית אם ורק אם $\ K=K^{p}$ . מכיוון שהשדה $\ K^{p^{\infty}}$ מקיים תכונה זו, ההרחבה $\ K^{p^\infty}/F$ מוכרחה להיות ספרבילית. כך הוכחנו שכל הרחבה אלגברית אפשר לפרק לשרשרת של שתי הרחבות, הראשונה ספרבילית והשנייה לא ספרבילית טהורה.

[עריכה] חבורת האוטומורפיזמים

לכל הרחבה $\ K/F$ אפשר להתאים את החבורה $\ \mbox{Aut}(K/F)$ של האוטומורפיזמים של K השומרים על אברי F. חבורה זו היא בעלת חשיבות עליונה בחקירת ההרחבה, ובפרט כאשר זו הרחבה אלגברית (אז היא נקראת חבורת גלואה של ההרחבה).

דוגמה. חבורת האוטומורפיזמים של $\ \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ היא טריוויאלית. הסיבה היא שכל אוטומורפיזם (של המבנה האלגברי) חייב לשמור על תת-הקבוצה של הריבועים, ולכן על הסדר של השדה. מכאן נובע שהוא רציף, ולכן שומר על גבולות. אבל המספרים הרציונליים צפופים בממשיים, ולכן כל פונקציה רציפה שלא מזיזה את המספרים הרציונליים בהכרח גם לא תזיז את המספרים הממשיים.