הכללה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הכללה היא מאבני היסוד של הפעילות המתמטית. הכללה פירושה לקיחת עצם מתמטי מסוים, ומעבר ממנו לעצם כללי יותר, שהעצם שממנו יצאנו מהווה מקרה פרטי שלו.

מושג B מהווה הכללה של מושג A כאשר:

• כל מופע של המושג A הוא גם מופע של המושג B.
• יש מופע של המושג B שאיננו מופע של המושג A.

יתרונה הבולט של ההכללה היא בכך שהיא עוברת מהדיון במושג הפרטי, המצומצם, למושג כללי, ובכך מאפשרת את יישומו של הידע שנצבר אודות המושג המצומצם בעולם המקיף יותר שבו חל המושג הכללי. בנוסף, ההתעסקות ב"תמונה הגדולה" מאפשרת לעתים לגלות מידע חדש על המושג הפרטי, שעד אז היה קשה להבחין בו בשל ריבוי הפרטים הלא רלוונטיים.

[עריכה] דוגמאות להכללה

• מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה.
• מושג הנורמה, שהוא הכללה של מושג האורך.
• מושג המטריקה, שהוא הכללה של מושג המרחק.
  • מרחב טופולוגי, שהוא הכללה של מרחב מטרי.
• ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד.
• במסגרת הדיון במבנים אלגבריים נלקחים עצמים מתמטיים קונקרטיים, כגון המספרים השלמים או המספרים הממשיים, נבחנות תכונותיהם המופשטות ביותר, ותכונות אלה עוברות הכללה, כך שניתן לבחון באמצעותן מגוון רחב של עצמים מתמטיים שאף להם תכונות אלה. המשמעות של המבנה האלגברי רחבה במידה מהותית מזו של העצם הקונקרטי שממנו יצא.
• אינדוקציה טרנספיניטית היא הכללה של האינדוקציה המתמטית הרגילה.
• בתורת המשחקים, שיווי משקל נאש הוא הכללה של מושג הפתרון של משחק סכום אפס למשחקים כלליים.
• באנליזה מתמטית, מושג הדיפרנציאביליות הוא הכללה של מושג הגזירות במספר רב של ממדים.
• משפט פיתגורס, הקובע כי סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר עבר הכללה ממשולש ישר זווית למשולש כלשהו, הכללה שהניבה את משפט הקוסינוסים.
• תולדה של משפט פיתגורס היא הבעיה למציאת שלשות פיתגוריות, כלומר מציאת a, b, c שלמים שמקיימים . בעיה זו עברה שתי הכללות:
  • הכללה של המשוואה מהחזקה 2 לחזקה כלשהי, n, שנעשתה בידי פייר דה פרמה, הניבה את המשפט האחרון של פרמה, העוסק במשוואה , וטוען שאין לה פתרון בשלמים כאשר n > 2.
  • הכללה נוספת של הנוסחה, שבה מספר הנעלמים שווה לחזקה, למשל , נעשתה בידי לאונרד אוילר, שבדומה לפרמה העלה השערה כי גם למשוואה זו אין פתרון בשלמים. הכללה זו התגלתה כשגויה כמאתיים שנה לאחר שהועלתה, באמצעות מציאת דוגמה נגדית.