משוואה ממעלה שנייה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\ ax^2 + bx + c=0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה לחיתוך הפרבולה $\ y=ax^2 + bx + c$ עם הישר $\ y=0$ .

שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה כבר לבבלים בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. בראשית המאה השלישית לפני הספירה הציג אוקלידס שיטה גאומטרית לפתרון.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

שני הפתרונות של המשוואה הריבועית $\!\, ax^2+bx+c=0$ נתונים על ידי הביטוי $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , כאשר $\!\, \Delta=b^2-4ac$ היא ה"דיסקרימיננטה" של המשוואה.

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון. פתרונות מרוכבים קיימים בכל מקרה.

משפט וייטה

משפט וייטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייטה, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית $\ ax^2 + bx + c=0$

ושורשיה הם $\ x_{1} , x_{2}$ , הרי מתקיים הקשר הבא: