Web - Amazon

website statistics

We provide Linux to the World

We support WINRAR [What is this] - [Download .exe file(s) for Windows]

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
SITEMAP

Audiobooks by Valerio Di Stefano: Single Download - Complete Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Alphabetical Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Download Instructions

Make a donation: IBAN: IT36M0708677020000000008016 - BIC/SWIFT: ICRAITRRU60 - VALERIO DI STEFANO or
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Andragradsekvation - Wikipedia, den fria encyklopedin

Andragradsekvation

Wikipedia

Denna artikel behandlar andragradsekvationer med en obekant.

I matematiken är en andragradsekvation en ekvation på den allmänna formen

$ax^2+bx+c=0; \quad a \ne 0$

Talen a, b och c kallas ekvationens koefficienter.

Innehåll

1 Lösning av ekvationen
- 1.1 Härledning
2 Samband mellan rötter och koefficienter
- 2.1 Härledning
3 Se även

[redigera] Lösning av ekvationen

En andragradsekvation med reella eller komplexa koefficienter har enligt algebrans fundamentalsats två (eventuellt sammanfallande) rötter (dvs lösningar).

Om koefficienterna är reella tal och $b^2\ge 4ac$ , kan dessa får ur

$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

Om uttrycket under rottecknet är

större än noll, är rötterna olika och reella
lika med noll, är rötterna lika och reella

Om $b 2 < 4 a c$ är rötterna olika och komplexa, och formeln ovan får formellt inte användas.

Genom att dividera med a kan ekvationen skrivas

$\ x^2+px+q=0$

och rötterna fås, om $\left(\frac{p}{2}\right)^2 \ge q$ , ur

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }$ .

Om $\left(\frac{p}{2}\right)^2 < q$ gäller i stället formeln

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm i\sqrt{q-\left(\frac{p}{2}\right)^2}$ ,

eftersom uttrycket under kvadratroten måste vara ett icke-negativt reellt tal. Dessa lösningar är komplexa tal.

[redigera] Härledning

Formeln för andragradsekvationens rötter kan härledas genom att tillämpa kvadratkomplettering:

$\ ax^2+bx+c=0$

Dela ekvationen med a, vilket ger

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

Kvadratkomplettering ger:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$

och

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0$

Med hjälp av konjugatregeln får man, om $b^2\ge 4ac$ :

$\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=0$

vilket ger rötterna $x_1= -\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ och $x_2= -\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Om $\ b^2< 4ac$ ger konjugatregeln istället

$\left(x+\frac{b}{2a}+i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)=0$

med rötterna $x_1= -\frac{b+i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$ och $x_2= -\frac{b-i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

Metoden med kvadratkomplettering fungerar även för ekvationer med komplexa koefficienter.

[redigera] Samband mellan rötter och koefficienter

Om ekvationen skrivs på formen $\ x^2+px+q=0$ gäller följande samband med dess lösningar:

$\begin{cases} p=-(x_1+x_2) \\ q=x_1\cdot x_2 \end{cases}$

Exempelvis har exvationen $\ x^2-7x+12=0$ lösningarna $\ x_1=3$ och $\ x_2=4$ .

[redigera] Härledning

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0$ har rötterna $\ x_1=a$ och $\ x_2=b$ .

Utveckling av parenteserna ger:

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)=x^2-ax-bx+ba=x^2-\left( a+b\right)x+ba$

[redigera] Se även

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../a/n/d/Andragradsekvation.html

Kategorier: Ekvationer | Grundläggande algebra

Views

Sök

Andra språk

Our "Network":

Project Gutenberg
https://gutenberg.classicistranieri.com

Encyclopaedia Britannica 1911
https://encyclopaediabritannica.classicistranieri.com

Librivox Audiobooks
https://librivox.classicistranieri.com

Linux Distributions
https://old.classicistranieri.com

Magnatune (MP3 Music)
https://magnatune.classicistranieri.com

Static Wikipedia (June 2008)
https://wikipedia.classicistranieri.com

Static Wikipedia (March 2008)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com/mar2008/

Static Wikipedia (2007)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com

Static Wikipedia (2006)
https://wikipedia2006.classicistranieri.com

Liber Liber
https://liberliber.classicistranieri.com

ZIM Files for Kiwix
https://zim.classicistranieri.com

Other Websites:

Bach - Goldberg Variations
https://www.goldbergvariations.org

Lazarillo de Tormes
https://www.lazarillodetormes.org

Madame Bovary
https://www.madamebovary.org

Il Fu Mattia Pascal
https://www.mattiapascal.it

The Voice in the Desert
https://www.thevoiceinthedesert.org

Confessione d'un amore fascista
https://www.amorefascista.it

Malinverno
https://www.malinverno.org

Debito formativo
https://www.debitoformativo.it

Adina Spire
https://www.adinaspire.com