Vierkantsvergelijking

In de wiskunde is een vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking of tweedegraadsvergelijking een vergelijking van de vorm:

$\,ax^2 + bx + c = 0$ ,

waarin a, b en c (reële of complexe) constanten zijn, met $a \not = 0$ .

Het oplossen van een vierkantsvergelijking is bijvoorbeeld aan de orde bij het bepalen van de nulpunten van een kwadratische functie.

[bewerk] Oplosmethode

Het getal $D : = b 2 - 4 a c$ wordt de discriminant van de vergelijking genoemd. Voor vergelijkingen met reële coëfficiënten geeft de waarde van D de grootte aan van de reële oplossingsverzameling:

Als D > 0, zijn er twee verschillende reële oplossingen x₁ en x₂.
Als D = 0, zijn er twee gelijke reële oplossingen x₁ = x₂.
Als D < 0, zijn er geen reële oplossingen van de vergelijking.

De oplossingen kunnen bepaald worden met de zogenaamde abc-formule (zie aldaar voor de afleiding daarvan):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

De formule voor de oplossingen kan ook in de volgende vorm geschreven worden:

$x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}$ .

[bewerk] Formules van Viète

De twee oplossingen (al dan niet verschillend of complex) voldoen aan de zgn. formules van Viète:

$\, x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$

$\, x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Dit volgt direct uit de bovengenoemde formule voor de oplossingen, maar is ook eenvoudig in te zien door te schrijven:

$\,ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ,

waarna uitwerking van het rechterlid leidt tot:

$\,a x_1 x_2=c$

$\,-a(x_1+x_2)=b$ .

[bewerk] Voorbeeld

Beschouw de volgende vergelijking:

$\,x^2-1=0$

Dan geldt a = 1, b = 0 en c = –1. Er volgt: D = 4 > 0. Er zijn twee oplossingen, die gegeven worden door:

$x_{1,2} = \frac{ \pm \sqrt{4}}{2} = \pm 1.$

Bovenstaande vergelijking kan ook worden geschreven als:

$\,(x+1)(x-1)=0$

Hieruit volgt ook dat:

$\,x=1$ of $\,x=-1$

Categorieën: Algebra | Wiskundige vergelijking

Views

Informatie

Zoeken

in andere talen

Deze pagina is het laatst bewerkt op 16:29, 29 nov 2006 door Wikipediagebruiker Thijs!bot. Gebaseerd op werk van Wikipediagebruiker(s) .anacondabot, RobotQuistnix, Livinus, YurikBot, Edwtie, Chobot, RoboRex, Bob.v.R, Klaas1978, Lieven Smits, Nijdam, MADe, Gpvosbot, KokoBot, Rex, Alten, RobotE, DirkD, Michiel1972, Londenp en Thijs! en Anonieme gebruiker(s) van Wikipedia.
De tekst op Wikipedia is zonder enige vorm van garantie beschikbaar onder de GNU Free Documentation License.
Over Wikipedia
Voorbehoud