אלגברת ז'ורדן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אלגברת ז'ורדן היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל חוג אסוציאטיבי), שבה פעולת הכפל, שנסמן כאן ב- $\ x\bullet y$ , מקיימת את שתי האקסיומות $\ x\bullet y=y\bullet x$ ו- $\ (x\bullet x)\bullet(x\bullet y)=((x\bullet x)\bullet y)\bullet x$ .

מבנה זה הוגדר על-ידי הפיזיקאי פסקל ז'ורדן (Pascual Jordan) בנסיון ליצור מסגרת מופשטת למכניקת הקוונטים, והוא קרוי על-שמו. למרות שהנסיון נכשל, נמצא שאלגברות ז'ורדן קשורות למבנים חשובים אחרים במתמטיקה, ובפרט לאלגברות לי ספורדיות.

[עריכה] היסטוריה

על-פי פרשנות קופנהגן של מכניקת הקוונטים, הגדלים הנצפים בטבע הם תוצאת הפעלתן של מטריצות הרמיטיות (או באופן כללי יותר, אופרטורים צמודים לעצמם על מרחב הילברט). לאוסף הזה של מטריצות יש חסרון בולט: המכפלה של שתי מטריצות הרמיטיות איננה הרמיטית.

בראשית שנות השלושים ניסה הפיזיקאי פסקל ז'ורדן לבנות מערכת אלגברית שאבריה יהיו שווי-הערך של המטריצות ההרמיטיות, ללא המעטפת של אלגברת המטריצות הסטנדרטית. אם $\ x,y$ הן מטריצות הרמיטיות אז $\ x\bullet y = \frac{1}{2}(xy+yx)$ גם היא מטריצה הרמיטית. ז'ורדן הבחין שהפעולה החדשה מקיימת את האקסיומות שהוזכרו במבוא, וביקש לבנות אלגברות שיקיימו את האקסיומות האלה, בלי להעזר בפעולת הכפל הרגילה, האסוציאטיבית.

מכל אלגברה אסוציאטיבית אפשר לבנות אלגברת ז'ורדן, על-ידי פעולת האנטי קומוטטור $\ \bullet$ שהוגדרה לעיל. אלגברות כאלה נקראות אלגברות מיוחדות (special). מטרתו המיידית של ז'ורדן הייתה למצוא אלגברות ז'ורדן שאינן מיוחדות; כדי לנסח מחדש את מכניקת הקוונטים, ז'ורדן נזקק לאלגברות כאלה בעלות ממד שאינו חסום.

[עריכה] מיון

המשפט החשוב הראשון בתחום זה התקבל ב-1934, כאשר ז'ורדן כתב מאמר משותף עם פון נוימן וויגנר. במאמר זה הם מוכיחים שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי שהיא גם ממשית באופן פורמלי (כלומר: אם $\ x_1^2+\dots+x_n^2=0$ אז בהכרח $\ x_1=\dots=x_n=0$ ), שייכת לאחת מחמש משפחות:

מטריצות הרמיטיות (מכל סדר) מעל השדה הממשי, השדה המרוכב או אלגברת הקווטרניונים הסטנדרטית;
מטריצות הרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת קיילי (ביחס לאינוולוציה הטבעית שלה),
'אלגברות ספין'.

האלגברות משלוש המשפחות הראשונות, כמו גם אלגברות הספין, כולן מיוחדות. מאידך, אלגברת קיילי (ובאופן כללי יותר, כל אלגברת אוקטוניונים), היא אלגברה אלטרנטיבית שאיננה אסוציאטיבית, ולכן לא היה ברור האם האלגברה בקבוצה האחרונה היא מיוחדת (בכך שהיא מתקבלת מאלגברה אסוציאטיבית), או לא. מעט אחר-כך הוכיח המתמטיקאי אדריאן אלברט שקבוצת האלגברות ההרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת אוקטוניונים איננה מיוחדת. אלגברות אלה, בעלות ממד 27, נקראות היום אלגברות אלברט, על-שמו.

מאוחר יותר, ב-1963, התברר שקיימות זהויות (ממעלה 8 או יותר) שאותן מקיימת כל אלגברה מיוחדת (ובפרט המטריצות ההרמיטיות), ואשר אלגברת אלברט אינה מקיימת. אם ז'ורדן היה יודע על אקסיומות חדשות אלה וכולל אותן בהגדרה שלו, התוצאה הייתה שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי חייבת להיות מיוחדת. אבל גם עם ההגדרה המקלה יותר, הממד הקטן של אלגברות אלברט אינו מאפשר להגשים את החזון של ז'ורדן, לפתח תאוריה אלגברית נטולת מטריצות של המטריצות ההרמיטיות.

בדומה לתורת המבנה של חוגים אסוציאטיביים, אבני היסוד של התאוריה הן האלגברות הפשוטות, ובמיוחד האלגברות עם חילוק, שהן סוג מיוחד של אלגברות פשוטות. המיון של אלגברות ז'ורדן פשוטות מממד סופי מעל שדה סגור אלגברית (ממאפיין שונה מ- 2) הושלם בידי נתן ג'ייקובסון בשנות ה-50, והוא דומה באופייו לזה שהתקבל על-ידי ז'ורדן, פון-ניומן ו-ויגנר. בעשורים הבאים הוכיח ג'ייקבסון משפטי מיון נוספים, מעל שדה כללי (ממאפיין שונה מ- 2). משפטים אלה תארו כיצד לבנות אלגברה פשוטה מאלגברה עם חילוק, אבל לא הוסיפו פרטים על האלגברות עם חילוק עצמן.

בראשית שנות השמונים הוכיח יפים זלמנוב סדרה של משפטים שהמשיכו את מלאכת המיון הרבה מעבר למה שהיה ידוע קודם לכן (ובמובן מסוים, אף מעבר למה שידוע היום, 2005, על אלגברות אסוציאטיביות). בהמשך קישר זלמנוב עבודות אלה לאלגברות לי ולחבורות מפותלות, ופתר את בעית ברנסייד המצומצמת; על עבודה זו זכה זלמנוב במדליית פילדס.

זלמנוב הוכיח שאלגברת ז'ורדן הפשוטה היחידה (לאו דווקא מממד סופי) שאינה מיוחדת, היא אלגברת אלברט מממד 27. הוא מיין את אלגברות ז'ורדן עם חילוק, את האלגברות הפשוטות, ולבסוף את האלגברות הראשוניות שאינן מנוונות.