שדה סגור אלגברית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
שדה סגור אלגברית הוא שדה, המקיים אחת מהתכונות השקולות הבאות:
- אין לו הרחבות אלגבריות.
- אין לו הרחבה מממד סופי.
- לכל פולינום בעל מקדמים בשדה, יש פתרון.
- כל פולינום אי-פריק בעל מקדמים בשדה, הוא לינארי (כלומר, ממעלה 1).
- כל פולינום בעל מקדמים בשדה מתפצל לגורמים לינאריים.
לכל שדה F יש סגור אלגברי, שהוא השדה הסגור אלגברית הקטן ביותר המכיל את F. זוהי ההרחבה האלגברית היחידה של F, עד כדי איזומורפיזם, שהיא סגורה אלגברית.
דוגמה. שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית. זהו הסגור האלגברי של שדה המספרים הממשיים. הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים (ולכן של כל שדה מספרים אחר) נקרא שדה המספרים האלגבריים.
בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר 
אינו נחתך עם המעגל 
(משום שנקודות החיתוך 
אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.
