Hermitien

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Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.

[modifier] Opérateur hermitien

Un opérateur est dit hermitien si dans une base orthonormée il est égal à la transposée de son conjugué (auto-adjoint).

Soit:

A⁺ = ^t(A)^*

donc, si

A = A⁺,

A est hermitien.

[modifier] Produit scalaire hermitien

Voir produit scalaire pour plus de détails.

On dit qu'une forme est sesquilinéaire si (notant X, Y, Z des vecteurs, et a, b des scalaires, c'est-à-dire des nombres complexes):

$\ f(aX+Y,Z)=\overline{a}f(X,Z)+f(Y,Z)$ , et
$\ f(X,bY+Z)=bf(X,Y)+f(X,Z)$ .
Une telle forme est dite hermitienne si de plus $f(X,Y)=\overline{f(Y,X)}$ .
Elle est dite hermitienne définie positive si $f(X,X)>0\,$ pour tout vecteur $X\,\not=0\,$

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

Les deux exemples de base sont $\mathbb{C}^n\,$ , avec

$f(U,V)=\sum_{i=1}^n\overline{u_i}{v_i}$

et $L^2(I)\,$ pour un intervalle $I\subset\R\,$ , avec

$f(g,h)=\int_I\overline{f(t)}g(t)dt$

(on considère des fonctions à valeurs complexes)

En théorie des séries de Fourier, il est bien plus commode de travailler avec les $e^{inx}\,$ qu'avec les sinus et les cosinus, ce qui explique l'interviention de cette notion dans la décomposition spectrale de Fourier.

Les deux propriétés de base du produit scalaire réel subsistent :

l'inégalité de Cauchy-Schwarz
le fait (qui en découle) que $\sqrt{f(x,x)}$ est une norme.

[modifier] Matrice hermitienne

Une matrice hermitienne (ou auto adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

la matrice est égale à la matrice transposée conjuguée.

En d'autres termes

$a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}$

Par exemple,

$\begin{bmatrix}3&2+i\\ 2-i&1\end{bmatrix}$

est une matrice hermitienne.

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice hermitienne est orthogonalement diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles ; ses sous-espaces propres sont 2 à 2 orthogonaux.

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique. Ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

[modifier] Polynômes orthogonaux d'Hermite

La suite des polynômes d'Hermite, notés $H n$ , est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

$<\! f,g\! >\, = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)\,g(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}}{dx}$ .

Ces polynômes sont définis de telle manière que $H n$ soit de degré n, le premier d'entre eux étant $H 0 = 1$ .

Cette suite satisfait les relations suivantes :

$H^{}_{n+1}(x)-2x\,H_n(x)+2n\,H_{n-1}(x)=0$
$H^{'}_n(x)=2n\,H_{n-1}(x)$
$H_n^{''} - 2x\,H_n^{'} + 2n\,H_n = 0$
$H_n(x)=(-1)^{n}\,\mathrm{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(\mathrm{e}^{-x^2}\right)$

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation uniforme des fonctions. En physique, on les retrouve dans la résolution de l'équation de la chaleur, mais aussi en mécanique quantique où ils donnent les fonctions d'ondes de l'oscillateur harmonique.

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