Polinomi característic
De Viquipèdia
En l'àlgebra lineal, s'associa un polinomi a cada matriu quadrada anomenat polinomi característic. Aquest polinomi conté una gran quantitat d'informació sobre la matriu, els més significatius són els valors propis, el seu determinant i la seva traça.
Taula de continguts |
[edita] Motivació
Donada una matriu quadrada A, volem trobar un polinomi tal que les seves arrels siguin precisament els valors propis d'A. Per a una matriu diagonal A, el polinomi característic és fàcil de definir: si els elements de la diagonal són xi per a i = 1..N, el polinomi característic en la indeterminada t és
El polinomi té aquesta forma ja que els elements de la diagonal d'una matriu diagonal coincideixen amb els seus valors propis.
Per a una matriu A genèrica, es pot procedir de la següent forma: Si λ és un valor propi d'A, aleshores existeix un vector propi v≠0 tal que
o
(on I és la matriu identitat). Com que v és no nul, la matriu λI − A és singular, la qual cosa implica que el seu determinant és 0. Acabem de veure que les arrels de la funció det(A-t I) són els valors propis d'A. Com que aquesta funció és un polinomi en t, ja hem trobat el polinomi que cercàvem.
[edita] Definició formal
Sigui K un cos (podem imaginar K com el cos dels reals o dels complexos) i A una matriu quadrada n-dimensional sobre K. El polinomi característic d'A, denotat per pA(t), és el polinomi definit per
on I denota la matriu identitat n×n. Alguns autors defineixen el polinomi característic com el det(t I-A); la diferència és intranscendent ja que els dos polinomis únicament es diferencien en el seu signe.
[edita] Exemples
Suposem que volem trobar el polinomi característic de la matriu
Hem de calcular el determinant de
aquest determinant és
Finalment hem obtingut el polinomi característic d'A.
[edita] Propietats
El polinomi pA(t) es mònic (el seu coeficient dominant és 1) i de grau n. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis d' A són precisament les arrels de pA(t). El coeficient constant pA(0) és igual a (−1)n vegades el determinant d'A, i el coeficient de t n − 1 és igual a -tr(A), la traça d' A. Per a una matriu A de 2×2, el polinomi característic es pot expressar com: t 2 − tr(A)t + det(A).
Tots els polinomis reals de grau senar tenen almenys un nombre real com a arrel, així que per a tot n senar, todta matriu real té almenys un valor propi real. La majoria dels polinomis reals de grau parell no tenen arrels reals, però el teorema fonamental de l'àlgebra diu que tot polinomi de grau n té n arrels complexes, comptades amb les seves multiplicitats. Les arrels no reals de polinomis reals, per tant valors propis no reals, apareixen en parelles conjugades.
El teorema de Cayley-Hamilton diu que si substituïm t per A en l'expressió de pA(t) obtenim la matriu nul·la: pA(A) = 0. És a dir, tota matriu satistà el seu propi característic. Com a conseqüència d'aquest fet, es pot demostrar que el polinomi mínim d'A divideix el polinomi característic d' A.
Dues matrius semblants tenen el mateix polinomi característic. El recíproc no és cert en general: dues matrius amb el mateix polinomi característic no són necessàriament semblants.
La matriu A i la seva transposada tenen el mateix polinomi característic. A és semblant a una matriu triangular si i només si el seu polinomi característic pot ser completament factorizat en factors lineals sobre K. De fet, A és fins i tot semblant a una matriu en forma canònica de Jordan.
