פולינום אופייני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה לינארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $\,A$ היא מטריצה ריבועית, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $f(\lambda) = \left| \lambda I - A \right|$ , כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה ו- $\ |\,\cdot\,|$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $\ f_A(\lambda) = \lambda^n - t_1 \lambda^{n-1} + t_2 \lambda^{n-2} \pm \dots + (-1)^{n} t_n$ , המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $\ t_n=|A|$ , ואילו $\ t_{1}$ שווה לעקבה של $\,A$ . באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $\ f_A(A) = A^n - t_1 A^{n-1} + \dots + (-1)^nt_nI = 0$ . לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.