Laplacien (signification physique)

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L'opérateur laplacien, ou simplement le laplacien, est un opérateur différentiel scalaire d'ordre 2. Symboliquement, on le désigne en général par ∇² (prononcer : nabla carré).^[1] Il joue un rôle fondamental dans de nombreuses disciplines théoriques, y compris bien entendu en physique mathématique, en géophysique interne et géodésie. Pour s'en rendre compte, il suffit de se rappeler que le potentiel de gravité V vérifie l'équation de Laplace

∇²V = 0

dans l'espace vide de matière, et l'équation de Poisson

∇²V = –4π G ρ

dans l'espace rempli de matière de masse volumique ρ.^[2]

[modifier] Signification physique du laplacien

Cube élémentaire d'arête a permettant de dégager la signification physique du laplacien

Il est par conséquent indispensable de bien dégager une interprétation physique simple pour le laplacien, autrement dit de se demander quelle est la signification physique de la quantité ∇²ϕ , où ϕ est une grandeur physique quelconque. En particulier, ϕ peut être le potentiel gravifique V ou le potentiel de pesanteur U, mais ϕ peut aussi désigner une quantité plus compliquée qu'une simple grandeur scalaire, par exemple un vecteur ou un tenseur. Le laplacien étant un opérateur scalaire, on peut donc établir sa signification physique dans un système de coordonnées au choix. Pour des raisons de simplicité, nous utilisons ici des coordonnées cartésiennes Ox, Oy, Oz, dans lesquelles ∇² s'exprime par

∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z².

Supposons qu'en un point O quelconque, pris comme origine de ce système d'axes Oxyz, le champ Φ prenne la valeur ϕ₀. Considérons un cube élémentaire de dimensions axaxa, dont les arêtes sont parallèles aux axes de coordonnées et dont le centre se confond avec l'origine O. La valeur moyenne de ϕ dans ce cube élémentaire, autrement dit la valeur moyenne de ϕ au voisinage du point O, est fournie par l'expression

ϕ = a^–3 ∫_A∫_A∫_A ϕ(x,y,z) dx dy dz,

où les trois intégrations portent chacune sur l'intervalle A = [–a/2, +a/2].

En un point P(x,y,z) arbitraire au voisinage de O(0,0,0) développons ϕ en série de Taylor-Maclaurin. On a ainsi :

ϕ(x,y,z) =

ϕ₀ + (∂ϕ/∂x)₀ x + (∂ϕ/∂y)₀ y + (∂ϕ/∂z)₀ z + (1/2) [(∂²ϕ/∂x²)₀ x² + (∂²ϕ/∂y²)₀ y² + (∂²ϕ/∂z²)₀ z²] + (∂²ϕ/∂x∂y)₀ xy + (∂²ϕ/∂y∂z)₀ yz + (∂²ϕ/∂z∂x)₀ zx + ... .

D'une part, les fonctions impaires dans cette expression fournissent, par intégration de –a/2 à +a/2, une contribution nulle à ϕ. Par exemple,

∫_A∫_A∫_A x dx dy dz = [(a/2)²/2 – (–a/2)²/2] [a/2 – (–a/2)] [a/2 – (–a/2)] = [0] [a] [a] = 0 .

D'autre part, les fonctions paires fournissent chacune une contribution de a⁵/12. Par exemple,

∫_A∫_A∫_A x² dx dy dz = [(a/2)³/3 – (–a/2)³/3] [a/2 – (–a/2)] [a/2 – (–a/2)] = a⁵/12 .

On en déduit que

ϕ = ϕ₀ + (a²/24) (∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂y² + ∂²ϕ/∂z²)₀,

ou encore

ϕ = ϕ₀ + (a²/24) (∇²ϕ)₀.

Comme le point O a été choisi arbitrairement, on peut l'assimiler au point courant P et laisser tomber l'indice « 0 ». On obtient donc l'expression suivante, dont l'interprétation est immédiate :

∇²ϕ = (24/a²) (ϕ – ϕ),

c'est-à-dire la quantité ∇²ϕ est proportionnelle à la différence ϕ–ϕ. La constante de proportionnalité vaut 24/a² en axes cartésiens. En d'autres termes, la quantité ∇²ϕ est une mesure de la différence entre la valeur de ϕ en un point quelconque P et la valeur moyenne ϕ au voisinage du point P. En particulier, les solutions de l'équation de Laplace, que l'on appelle des fonctions harmoniques, ont la propriété d'être des fonctions moyennes (ou des « fonctions de classe moyenne » dans le jargon mathématique).

[modifier] Notes

↑ Souvent, surtout dans des ouvrages plus anciens mais aussi dans des livres ou articles récents, on désigne le laplacien par la lettre grecque ∆ . Comme par ailleurs cette lettre sert aussi à indiquer des variations ou des anomalies, notamment en géodésie et en géophysique, nous nous garderons bien — afin d'éviter toute confusion —de désigner le laplacien par ∆ .
↑ Historiquement, Pierre-Simon Laplace a fait beaucoup usage de cet opérateur différentiel dans ses études concernant la figure de la Terre et la mécanique céleste et, pour célébrer la mémoire de ce grand savant français, son nom reste attaché à l'opérateur.