Harmoniques sphériques

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Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité $S 2$ .

Ces fonctions apparaissent notamment en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique), en géophysique pour la description du géoïde, en mécanique quantique pour la description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène, ...

Elles sont notées usuellement $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ , où les angles $(\theta, \varphi)$ sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :

$0 \ \le \ l$

$- \ l \ \le \ m \ \le \ + \ l$

[modifier] Définition

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres ^[1] :

$- \ \Delta \ Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ E_{l,m} \ Y_{l,m}(\theta, \varphi)$

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité :

$\Delta f(\theta, \varphi) \ = \ \frac{1}{\sin \theta } \ \frac{\partial ~}{\partial \theta} \left(\sin \theta \ \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \ + \ \frac{1}{\sin^2 \theta } \ \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$

[modifier] Expression des harmoniques sphériques

[modifier] Recherche des harmoniques sphériques

On cherche les fonctions $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

$Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ k \ P_{l,m}(\cos \theta) \ \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}$

où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle ordinaire du second ordre pour la fonction $P l, m (cosθ)$ :

$- \ \frac{1}{\sin \theta } \ \frac{d ~}{d \theta} \left(\sin \theta \ \frac{d P_{l,m}(\cos \theta)}{d \theta}\right) \ + \ \frac{m^2}{\sin^2 \theta } \ P_{l,m}(\cos \theta) \ = \ E_{l,m} \ P_{l,m}(\cos \theta)$

On fait le changement de variable : $\theta \mapsto x = \cos \theta$ qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

$- \ \ \frac{d ~}{dx} \left[ (1-x^2) \ \frac{d P_{l,m}(x)}{dx}\right] \ + \ \frac{m^2}{(1-x^2) } \ P_{l,m}(x) \ = \ E_{l,m} \ P_{l,m}(x)$

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :

$E_{l,m} \ = \ l \ (l+1)$

Les fonctions propres $P l, m (x)$ se construisent à partir des polynômes de Legendre $P l (x)$ qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas $m = 0$ :

$- \ \ \frac{d ~}{dx} \left[ (1-x^2) \ \frac{d P_{l}(x)}{dx}\right] \ = \ l \ (l+1) \ P_{l}(x)$

On a la formule génératrice de Rodrigues :

$P_{l}(x) \ = \ \frac{1}{2^l \ l !} \ \frac{d^l ~}{dx^l} \left[ x^2 - 1 \right]^l$

On construit alors les fonctions propres $P l, m (x)$ par la formule :

$P_{l,m}(x) \ = \ (-1)^m \ \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \ \frac{d^m P_{l}(x)}{dx^m}$

soit explicitement :

$P_{l,m}(x) \ = \ \frac{(-1)^m}{2^l \ l !} \ \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \ \frac{d^{l+m} ~}{dx^{l+m}} \left[ x^2 - 1 \right]^l$

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions $P l, m (x)$ pour $m \ \ge \ 0$ , car il existe une relation simple entre $P l, m (x)$ et $P_{l,- \, m}(x)$ :

$P_{l,- \, m}(x) \ = \ (-1)^m \ \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} \ P_{l,m}(x)$

[modifier] Normalisation

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité $S 2$ au sens où :

elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

$\iint_{S_2} d\Omega(\theta, \varphi) \ \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) \ Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ \delta_{l, l'} \ \delta_{m, m'}$

Dans cette formule, $d\Omega(\theta, \varphi)$ représente l'angle solide élémentaire :

$d\Omega(\theta, \varphi)\ = \ \sin \theta \ d\theta \ d\varphi$

toute fonction $f(\theta, \varphi)$ suffisamment régulière admet un développement en série :

$f(\theta, \varphi) \ = \ \sum_{l=0}^{+ \infty} \ \sum_{m=-l}^{+l} \ a_{l,m} \ Y_{l,m}(\theta, \varphi)$

où les coefficients complexes

a l, m

se calculent par :

$a_{l,m} \ = \ \iint_{S_2} d\Omega(\theta, \varphi) \ \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi) \ f(\theta, \varphi)$

[modifier] Expression des harmoniques sphériques normalisées

La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

$Y_{l,m}(\theta, \varphi) \ = \ \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \ \frac{(l-m)!}{(l+m)!} \ } \ P_{l,m}(\cos \theta) \ \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}$

[modifier] Notations bra-ket de Dirac

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[modifier] Liens internes

[modifier] Bibliographie

I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik ; Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6ème édition - 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : www.mathtable.com

John D. Jackson ; Électrodynamique classique - Cours et exercices d'électromagnétisme, Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction française de la 3e édition du grand classique américain.

Jean-Louis Basdevant & Jean Dalibard ; Mécanique quantique (avec CD-ROM), Editions de l'école Polytechnique (2002), ISBN 2730208194.

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu & Franck Laloë ; Mécanique quantique, 2 volumes, Hermann (1973), ISBN 2705660747. Grand classique.

Albert Messiah ; Mécanique quantique, 2 volumes, Dunod (1959). Réédité en 1995 : ISBN 2100073613. Autre grand classique.

[modifier] Notes

↑ NB On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres positives. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction $φ$ lisse à support compact, on a : $\int \phi \Delta \phi = - \int || \mathrm{grad} \phi ||^2$ Cette égalité se démontre en utilisant la relation $\Delta = \mathrm{div} \ \mathrm{grad}$ et en intégrant par partie.