Inégalité de Hölder

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En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces L^p : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de L^p(S) et g dans L^q(S). Alors fg appartient à L¹(S) et

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

En considérant S comme l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement, nous obtenons un cas particulier de l’inégalité :

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}$

valable pour tous réels (ou nombres complexes) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

En considérant S comme l’ensemble des entiers naturels avec la mesure de dénombrement, nous obtenons une inégalité similaire pour les séries.

Pour p = q = 2, nous obtenons l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

L’inégalité de Hölder est utilisée pour démontrer l' inégalité triangulaire dans l’espace L^p, parfois appelée inégalité de Minkowski et aussi pour établir que L^p est le dual de L^q si $p \neq 1$ et $p \neq \infty$ .

Démonstration

La concavité de la fonction logarithme népérien permet d'écrire, pour tout réels strictements positifs a et b, vu que $\frac{1}{p}$ et $\frac{1}{q}$ sont positifs de somme 1: $\frac{1}{p}\ln(a)+\frac{1}{q}\ln(b) \leq \ln(\frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b)$ , soit encore en prenant l'exponentielle: $a^{1/p}b^{1/q} \leq \frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b$ (1).

Supposons dans un premier temps $\sum_{k=1}^n |x_k|^p=\sum_{k=1}^n |y_k|^q=1$ . En prenant $a = | x k | p$ et $b = | y k | q$ dans l'inégalité ci-dessus, puis en sommant pour k allant de 1 à n, on obtient $\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq 1$ (2).

Supposons désormais simplement que $\sum_{k=1}^n |x_k|^p$ et $\sum_{k=1}^n |y_k|^q$ sont non nuls (i.e. l'un au moins des $x k$ et l'un au moins des $y k$ sont non nuls). En posant $x'_{i}=\frac{x_{i}}{\left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p}}$ et $y'_{i}=\frac{y_{i}}{\left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/q}}$ peut appliquer l'inégalité (2) avec les $x' i$ et $y' i$ , ce qui donne l'inégalité de Hölder. Enfin, elle est évidente si tous les $x k$ ou tous les $y k$ sont nuls.