Неравенство Гёльдера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нера́венство Гё́льдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах - это фундаментальное свойство пространств $L p$ .

Содержание

1 Формулировка
2 Частные случаи
3 См. также

[править] Формулировка

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ - пространство с мерой, а $L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ - пространство функций вида $f:X \to \mathbb{R}$ с конечной интегрируемой $p$ -ой степенью. Тогда в последнем определена норма

$\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$ .

Пусть $f \in L^p$ , а $g \in L^q$ , где $p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1$ . Тогда $f \cdot g \in L^1$ , и

$\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q$ .

[править] Частные случаи

[править] Неравенство Коши — Буняковского

Положив $p = q = 2$ , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства $L 2$ .

[править] Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E = \mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$ . $L p$ -норма в этом пространстве имеет вид:

$\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$ ,

и тогда

$\sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E$ .

[править] Пространство l^p

Пусть $X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ - счётная мера на $\mathbb{N}$ . Тогда множество всех последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ , таких что

$\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty$ ,

называется $l p$ . Неравенство Гёльдера для это пространства имеет вид:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q$ .

[править] Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ - вероятностное пространство. Тогда $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$ -м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$ , где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид: