Espace Lp

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En mathématiques, les espaces L^p et $\ell^p$ sont les espaces des fonctions intégrables à la puissance p. Ils forment une classe importante d'exemple d'espace de Banach en analyse fonctionnelle et d'espace vectoriel topologique.

[modifier] Motivation

Considérons l'espace des vecteurs réels $\mathbb{R}^n$ . La somme de vecteurs dans $\mathbb{R}^n$ est donnée par :

$(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),$

Et la multiplication par un scalaire est donnée par:

$\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).$

La norme d'un vecteur $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est souvent donnée par:

$\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}$

Mais se n'est pas la seule façon de définir une norme, si p est un nombre réel et p≥1 nous pouvons définir:

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}$

Pour chaque vecteur $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ . Il s'avère que cette définition satisfait les propriétés d'une norme. Donc pour chaque p≥1, $\mathbb{R}^n$ ensemble et la p-norme que nous venons de définir nous formons un espace de Banach.

[modifier] Espace $\ell^p$

La p-norme peut être etendue aux vecteurs ayant une infinité de composantes ce qui nous donne l'espace $\ell^p$ . Pour $x=(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)$ , une sequence infinie de nombre réel ou complexe nous définissons la somme:

$(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)+(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1},\dots)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dots),$

Et la multiplication par un scalaire:

$\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dots).$

Nous définissons la p-norme:

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\dots\right)^{1/p}.$

Mais ici un problème survient, c'est que la série de droite n'est pas toujours convergente, par exemple, la série $(1,1,1,...)$ a une p-norme infinie pour n'importe quel p. Donc l'espace $\ell^p$ est définit comme l'ensemble des sequences infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est définie.

On définit aussi la ∞-norme comme:

$\|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots)$