Bất đẳng thức Holder

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Holder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L^p: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc L^p(S) và g thuộc L^q(S). Khi đó fg thuộc L¹(S) và

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian L^p, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh L^p là đối ngẫu với L^q.

[sửa] Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1,...,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rⁿ (Cⁿ)

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}$

Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ không gian lp

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q$ .

Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.$

Trong trường hợp không gian xác suất $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn,