Représentation des groupes

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L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayer d'étudier un groupe G en le faisant agir sur un espace vectoriel V de manière linéaire : on essaie ainsi de voir G comme un groupe de matrices (d'où le terme représentation). On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de V, arriver à déduire quelques propriétés de G.

Sommaire

1 Quelques définitions
2 Irréductibilité
- 2.1 Définitions
- 2.2 Théorème de Maschke
3 Quelques exemples
4 Références

[modifier] Quelques définitions

[modifier] Définition la plus élémentaire

Soit G un groupe, K un corps et V un espace vectoriel sur K. On appelle représentation de G un morphisme de groupe de G dans GL(V), autrement dit, d'une application $\rho \,:\,G\to GL(V)$ telle que $ρ(g 1)ρ(g 2) = ρ(g 1 g 2)$ , c'est-à-dire que l'application préserve la loi du groupe.

Pour écrire l'action d'un élément $g$ du groupe sur un élément $v$ de l'espace vectoriel à travers la représentation $ρ$ , on notera parfois $ρ(g)(v)$ $ρ(g). v$ ou même $g . v$ s'il n'y a aucune ambiguïté. On note parfois une représentation $(V,ρ)$ . On dit parfois également (et abusivement) que V est une représentation de G.

On dit que la représentation est fidèle si le morphisme $ρ$ est injectif. Si par ailleurs V est de dimension finie (cas le plus fréquent), cette représentation permet alors de voir G comme un groupe de matrices. La dimension de V est alors appelée degré de la représentation. Si V est de dimension infinie, alors les $ρ(g)$ sont des opérateurs linéaires.

[modifier] Définition plus savante

[modifier] K-algèbre d'un groupe

Notons K[G] le K-espace vectoriel engendré par les éléments de G (c'est à dire l'ensemble des combinaisons linéaires formelles finies à coefficients dans K des éléments de G). Un élément générique de K[G] s'écrit

$\sum_{g\in G}a_g g$

où les $a g$ sont des éléments de K tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux (la somme est donc finie) et où les lettres g sont à considérer comme des symboles formels.

On peut donner à K[G] une structure d'anneau (et donc de K-algèbre) en le munissant de la loi de multiplication (naturelle) suivante :

$\left (\sum_{g\in G}a_g g\right ) \left (\sum_{h\in G}b_h h\right)=\sum_{g, h\in G}a_g b_h (gh) = \sum_{g\in G} \left (\sum_{h,k \in G \mid hk=g} a_h b_k \right ) g$

où toutes les sommes sont en faite finies.

K[G] s'appelle la K-algèbre du groupe G.

[modifier] Lien avec les représentations

On peut alors étendre, et ce de façon unique, la représentation $ρ$ à un morphisme de K-algèbres de K[G] vers End(V), en posant $\rho(\sum_{g\in G}a_g g) = \sum_{g\in G}a_g \rho(g)$ . Ceci fait de V un K[G]-module. On dit également que V est un G-module.

Réciproquement, la donnée d'un K[G]-module V fournit une représentation de G.

[modifier] Morphismes

Un morphisme $\varphi$ entre deux représentations $(V,ρ)$ et $(W,σ)$ est simplement une application K-linéaire de V dans W telle que pour tout g appartenant à G on ait $\varphi\circ\rho(g)=\sigma(g)\circ\varphi$

On dit alors aussi que $\varphi:V\to W$ est un morphisme G-équivariant.

Deux représentations sont dites semblables, ou isomorphes lorsqu'il existe un isomorphisme G-équivariant entre les espaces correspondants. Il est alors possible de les identifier.

[modifier] Irréductibilité

[modifier] Définitions

On dit qu'un module V est simple s'il ne contient pas d'autre sous-module que {0} et V.

Si $(V,ρ)$ est une représentation, on dit que cette représentation est irréductible si V est simple en tant que K[G]-module. Formulé autrement, ceci signifie que V n'admet pas de sous-espace vectoriel propre qui soit stable sous l'action de G. En termes matriciels, cela signifie qu'on ne peut pas trouver de base dans laquelle la représentation de G soit donnée par des matrices ayant toutes la même structure triangulaire supérieure par blocs (avec au moins 2 blocs).

Une représentation est complètement réductible si V est somme directe de sous-espaces stables (par G) irréductibles. En termes de K[G], cela signifie que V peut-être décomposé en somme directe de K[G]-modules simples (on dit alors aussi que V est semi-simple). En termes matriciels, cela signifie qu'on peut trouver une base dans laquelle la représentation de G soit faite par des matrices diagonales par blocs, où chacun des blocs est une représentation irréductible.

Le fait de considérer des modules simples permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, un morphisme entre deux représentations irréductible est soit nul, soit inversible...

On peut souvent ramener l'étude des représentations de G à l'étude de ses représentations irréductibles : si V n'est pas irréductible, on peut toujours considérer un sous-espace vectoriel de V qui soit stable par G. Si jamais V est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.

[modifier] Théorème de Maschke

Si G est fini et si la caractéristique de K est nulle ou ne divise pas card(G), alors tout K[G]-module est semi-simple (ou de façon équivalente toute représentation de G dans K est complètement réductible).

En fait, plus généralement, on peut énoncer un théorème similaire pour les groupes compacts (un groupe fini est toujours compact)et les représentations de groupes topologiques.

[modifier] Quelques exemples

Commençons par l'exemple le plus trivial : si G est un sous-groupe de GL_n(K), G agit naturellement sur $K n$ . La représentation associée est appelée représentation standard.

G agit sur lui-même par multiplication à gauche ; ceci définit une représentation sur K[G]. La représentation associée est appelée représentation régulière. Il est intéressant de noter que si G est un groupe fini, toute représentation irréductible est une sous-représentation de la représentation régulière.