Bobine (électricité)

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Quelques bobines

En électricité, ce terme peut désigner deux dispositifs :

Un dipôle électrique, parfois appélé inductance ou self
Un dispositif déstiné à produire des tensions élevées.

Sommaire

1 Le dipôle bobine
- 1.1 Modèles de la bobine réelle
  - 1.1.1 Modèles à deux dipôles
  - 1.1.2 Modèles à trois dipôles
2 Relation entre la tension et l'intensité
- 2.1 Comportement d'une bobine soumise à une échelon de tension
- 2.2 Comportement en régime sinusoïdal
3 Le dispositif élévateur de tension bobine

[modifier] Le dipôle bobine

Représentation symbolique d'une bobine dans un circuit

Une bobine est un terme générique en électricité pour désigner un dipôle formé de un ou plusieurs, voire une multitude de spires de fil autour d'un noyau. Ce noyau peut être vide ou, en un matériau favorisant l'induction magnétique (matériau ferromagnétique, afin d'augmenter la valeur d'inductance).

C'est donc un dipôle auto-inductif plus ou moins linéaire qui est caractérisé principalement par son inductance, mais également par une résistance électrique (celle du fil utilisé, a priori faible), mais principale responsable des pertes.

[modifier] Modèles de la bobine réelle

La bobine idéale est modélisée par une auto-inductance notée généralement L.

Mais la bobine réelle (particulièrement si elle est bobinée autour d'un matériau ferromagnétique) est un dipôle complexe possèdant de nombreux paramètres et aussi le siège de phénomènes physiques dont certains sont la cause de non-linéarité (par exemple les phénomènes d'hystérésis).

[modifier] Modèles à deux dipôles

Les modèles les plus simples et les plus fréquemment utilisés sont ceux correspondant à l'association d'une inductance et d'une résistance :

[modifier] Modèle série

Il est constitué de l'association en série d'une inductance et d'une résistance :

Il correspond à l'équation

$u =L_s \cdot \frac{di}{dt} + r_s \cdot i \,$

[modifier] Modèle parallèle

Il est constitué de l'association en parallèle d'une inductance et d'une résistance :

Il correspond à l'équation

$i = \frac{1}{L_p} \cdot \int_t udt + \frac{u}{r_p} \,$

[modifier] Equivalence entre les deux modèles

En régime sinusoïdal de fréquence f et de pulsation ω, les deux modèles précédents sont équivalents et interchangeables à condition de poser :

$r_p = r_s \left (1+Q^2 \right ) \,$
$L_p \omega = L_s \omega \left (\frac{1+Q^2}{Q^2} \right ) \,$ ou bien : $L_s \omega = L_p \omega \left (1+Q^2 \right ) \,$

Avec $Q = \frac{L_s \omega}{r_s} = \frac{r_p}{L_p \omega} \,$ : facteur de qualité de la bobine

[modifier] Modèles à trois dipôles

Aux modèles précédents, il est parfois nécessaire d'ajouter un condensateur en parallèle avec l'ensemble afin de rendre compte des effets capacitifs apparaissant entre les spires. Cette valeur de capacité est très faible mais elle devient prédominante à très grande fréquence.

[modifier] Relation entre la tension et l'intensité

La tension $u B$ aux bornes de la bobine et l'intensité $i$ du courant sont reliés par l'équation différentielle :

$u_{\mathrm{B}}=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+ri$

où $L$ est l'inductance de la bobine et $r$ sa résistance propre (dans le cas d'une bobine parfaite, $r = 0$ ).

[modifier] Comportement d'une bobine soumise à une échelon de tension

Lorsque la bobine est soumise brutalement à une tension constante E avec une résistance $r$ en série, l'équation différentielle admet pour solution :

$i=\frac{E}{r}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ ,

où $\tau=\frac{L}{r}$ est la constante de temps de la bobine.

[modifier] Démonstration mathématique

Si on admet que les solutions de l'équation différentielle sont de la forme $i = A + B e C t$ où $A, B, C$ sont constantes et $t$ le temps écoulé, alors $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=BC\mathrm{e}^{Ct}$ et l'équation devient :

E = L B C e C t + r A + r B e C t

puis :

B e C t (L C + r) = E - r A

Pour vérifier cette équation, il faut que $L C + r = 0$ et $E = r A$ puisque $e C t$ varie en fonction du temps.

On obtient alors :

$C=-\frac{r}{L}$

et :

$A=\frac{E}{r}$

$B$ peut alors prendre une infinité de valeurs. Ainsi, si la bobine est en charge, $i t = 0 = 0$ d'où $A + B = 0$ et :

$B=-\frac{E}{r}$ ,

ce qui permet de trouver la solution de l'équation différentielle en $i$ .

[modifier] Démonstration des électriciens

la solution de l'équation différentielle : $u_B = L\frac{di}{dt}+ri$ est la somme de deux termes :

$i_l \,$ , la solution du régime libre correspondant à l'équation sans second membre $0 =L\frac{di}{dt}+ri$
$i_f \,$ , la solution du régime forcé correspondant au régime établi quand toutes les dérivées sont nulles et donc solution de $u_B = ri \,$ .

[modifier] Solution du régime libre

$0 =L\frac{di}{dt}+ri$

Séparation des variables :

$L\frac{di}{dt} = -ri$ ⇒ $\frac{di}{dt} = -\frac{r}{L}.i$ ⇒ $\frac{di}{i} = -\frac{r}{L}.dt$

On intègre les deux membres

$\mathrm{Log } i = -\frac{r}{L}.t + Cte$

Si x = y alors $\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^y \,$ donc

$i_l = \mathrm{e}^{-\frac{r}{L}.t + Cte}$ ⇒ $i_l = K. \mathrm{e}^{-\frac{r}{L}.t}$

[modifier] Solution du régime forcé

Lorque la bobine est soumise à un échelon de tension $E \,$ la solution du régime forcée est :

$i_f = \frac{E}{r}$ .

[modifier] Solution de l'équation

$i =K. \mathrm{e}^{-\frac{r}{L}.t}+ \frac{E}{r}$ .

La détermination de la constante $K \,$ est faite grâce à la condition physique suivante : Le courant à travers une inductance ne peut en aucun cas subir de discontinuïté.

à l'intant $t = 0 \,$ , le courant vaut $I_i = I_{initial} \,$ . On obtient l'équation :

$I_i =K+ \frac{E}{r}$ ⇒ $K=I_i -\frac{E}{r}$ Donc

$i =(I_i -\frac{E}{r}) . \mathrm{e}^{-\frac{r}{L}.t}+ \frac{E}{r}$ .

Souvent, dans les cas d'école, le courant initial est nul. On obtient alors :

$i=\frac{E}{r}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

[modifier] Comportement en régime sinusoïdal

Pour obtenir les équations régissant le comportement d'une bobine réelle en régime sinusoïdal, il est nécessaire d'utiliser un des modèles décrit ci-dessus et de calculer l'impédance de la bobine soit en utlisant la représentation de Fresnel, soit en utilisant la transformation complexe.

avec le modèle série, l'impédance de la bobine s'écrit :

$Z=\sqrt{r_s^2 + (L_s\omega)^2}$

Du fait de son caractère inductif, l'intensité du courant sinusoïdal qui traverse la bobine soumise à une tension sinusoïdale présente un retard de phase par rapport à cette dernière. Ce retard est compris entre 0 et 90° (ou 0 et π /2 radians). On dit que le courant est en retard sur la tension.

Lorsque la bobine est réalisée autour d'un noyau ferromagnétique sans entrefer, les phénomènes de saturation magnétique et d'hystérésis entraînent des non-linéarités dans le comportement de la bobine : lorsqu'elle est soumise à une tension sinusoïdale, l'intensité du courant qui la traverse n'est pas purement sinusoïdal. Ces non linéarités sont très difficiles à prendre en compte. Elles sont souvent négligés en première approximation dans les calculs traditionnels.

[modifier] Le dispositif élévateur de tension bobine

C'est un quadripôle qui met à profit le phénomène d'induction électromagnétique pour engendrer une pointe de courant sous une très haute tension. Elle constitue le système d'allumage du moteur à explosion à allumage commandé, autrement dit le moteur à essence.

[modifier] Historique

Les physiciens français Antoine Masson et Louis Breguet en 1841 en firent les premiers essais. Dès 1836, Antoine Masson avait produit des courants sous haute tension en provoquant des interruptions rapides du courant produit par une pile. La bobine qu'il construisit en 1841 avec Breguet lui servit à produire des décharges dans des gaz raréfiés. Le mécanicien Ruhmkorff perfectionna le système pour les besoins de la physique expérimentale, on lui doit la Bobine de Ruhmkorff.

[modifier] Principe

C'est une alimentation à découpage de type Fly-back, c’est-à-dire deux circuits magnétiquement couplés dont l'un, appelé enroulement basse tension et comportant peu de spires est relié à l'alimentation alors que l'autre est connecté à l'utilisation. Ce deuxième enroulement comporte beaucoup de spires et porte généralemenrt de nom d'enroulement haute tension.

Le fonctionnement se fait en deux temps :

Phase d'accumulation : L'énergie magnétique est préalablement stockée dans l'enroulement basse tension jusqu'a ce que la quantité d'énergie atteigne un optimum qui dépend du nombre de spire et du circuit magnétique.

Phase de restitution : On ouvre brusquement le circuit primaire. L'énergie magnétique accumulée ne peut subir de discontinuïté, force l'apparition d'un courant dans le deuxième enroulement sous une tension égale au produit de la tension primaire par le rapport des nombres de spires.