Magnétostatique

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La magnétostatique est l'étude des phénomènes créant un champ magnétique statique (unité : le Tesla, T). Un champ magnétique se rencontre dans plusieurs cas de figure :

lors du déplacement d'une ou plusieurs charges électriques, formant un courant électrique. Le champ sera permanent ( on dit aussi statique) si les charges sont dotées d'un mouvement permanent, c'est-à-dire si le courant est constant.
un matériau ferromagnétique produit spontanément un tel champ orienté du pôle Nord au pôle Sud de celui-ci.

Le champ magnétique est à l'origine de la force de Lorentz qui agit sur une charge électrique q de vitesse $\vec{v}$ : $\vec{F} = q\vec{v}\wedge\vec{B}$ .

Sommaire

1 Calcul du champ magnétique
- 1.1 Exemples
2 Force magnétique
- 2.1 Potentiel vectoriel magnétique
3 Voir aussi

[modifier] Calcul du champ magnétique

Un champ magnétique est créé par un courant électrique, c'est-à-dire par le déplacement d'une ou plusieurs charges électriques (loi d'Oersted, 1820).

Le champ magnétique est un vecteur axial. La valeur du champ créé en un point de l'espace par un conducteur parcouru par un courant constant I est donnée par la loi de Biot et Savart :

$d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0 }{4\pi}I d\vec{l} \wedge \frac{\vec{r}}{r^3}$

où

μ 0

est une constante appelée perméabilité du vide qui vaut, par définition, dans le Système international : $4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m (Henry/mètre)

$\wedge$ indique le produit vectoriel.

Il convient alors d'effectuer la sommation sur tous les éléments de courant I dl .

On démontre alors deux propriétés importantes du champ magnétique B :

div B = 0 ( B est à flux conservatif (cf analyse vectorielle)).
le théorème d'Ampère :

$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 \sum I_{{enlac\acute{e}}}$

où

B est le champ magnétique

ds est élément linéique de la boucle fermée C

I est le courant qui traverse la surface S fermée par la boucle C

$\oint ds$ désigne l'intégrale de chemin (ou circulation) le long de la boucle fermée C.

Le théorème d'Ampère est un peu l'équivalent pour un champ vectoriel du théorème de Gauss pour un champ scalaire en ce sens qu'il conduit à une équation locale :

La forme locale est l'équation de Maxwell-Ampère qui s'écrit :

$\vec{\nabla} \wedge \vec{B}=\mu_0\,\vec{j}$ (ou bien $\vec{rot}\vec{B}=\mu_0\,\vec{j}$ )

Si les courants électriques sont dans un espace fini, le champ B décroît à l'infini comme O(1/r^3). Ceci et les deux lois locales précédentes (div B = 0 ; $\vec{rot}\vec{B}=\mu_0\,\vec{j}$ ), permet gràce au théorème d'Helmholtz de retrouver la loi de Biot et Savart: on peut donc les prendre pour base de la magnétostatique

La magnétostatique tout comme les autres lois d'électromagnétisme, a été plus tard incorporée et généralisée dans les équations de Maxwell, qui unifient tout l'électromagnétisme : en effet, dans le cas PERMANENT (indépendant du temps), les équation de Maxwell se découplent en magnétostatique et électrostatique.

L'unité de champ magnétique, le Tesla noté T, est une unité très grande. Le Weber(W) vaut un Tesla.m² et via la loi de Faraday un Volt.s : donc 1T = 1V.s/m², assez peu intuitive.

[modifier] Exemples

Champ d'un segment de fil parcouru par un courant I :

$\vec{B_\theta} (r)=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,(sin\alpha_1 -sin\alpha_2)\,\overrightarrow{u_\theta}$

où $\overrightarrow{u_\theta}$ est le vecteur tangentiel.

Cas d'un fil infini :

$\alpha_1=-\alpha_2=\pi/2\ \ B(M)=\frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}$

Champ créé sur l'axe d' une spire circulaire de rayon R :

$\vec{B_z} (z)=\frac{\mu_0 I}{2R}\,sin^3\alpha\,\vec{k}=\frac{\mu_0 I}{2}\,\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\vec{k}$

donc par linéarité, dans un solénoïde infiniment long :

$\vec{B}(M) = \mu_0 \cdot n_1 \cdot I\cdot \vec{k}$ , si M est intérieur, et $\vec{0}$ ,si M extérieur.

n1 désignant le nombre de spires par unité de longueur.

si la spire est très petite, on parle alors de moment magnétique:

$\vec{m} = I \vec{S}$ , $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \vec{rot}[\vec{m} \wedge \frac{\vec{r}}{r^3}]$ , r non nul.

cf aussi champ d'une spire de courant

voir autres distributions magnétostatiques

[modifier] Force magnétique

Une charge électrique q se déplaçant dans un champ magnétique $\vec{B}$ subit la force de Lorentz :

$\vec{F} = q \vec{v} \wedge \vec{B}$

où $\vec{v}$ est la vitesse (au sens vectoriel) de cette charge.

Si un champ électrique $\vec{E}$ se superpose au champ magnétique, la force qui s'exerce sur la charge est la somme des forces électrique et magnétique :

$\vec{F} = q\cdot (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$

Cette force peut paraître étrange par son caractère "apparemment" non galiléen : en fait, il n'en est rien, elle s'accorde au contraire très bien à la relativité restreinte.

[modifier] Potentiel vectoriel magnétique

On peut définir le potentiel-vecteur $\vec{A}$ par l'équation de Maxwell-Faraday :

$\vec{B}=\vec{\nabla} \wedge \vec{A}$ (ou bien $\vec{B}=\vec{rot} \vec{A}$ )

(Cela vient aussi de Maxwell-flux car puisque $\vec{\nabla}.\vec{B}=0$ , $\vec{B}$ est un rotationnel, en effet $d i v (r o t) = 0$ )

Par conséquent avec Maxwell-Ampère en statique : $\vec{rot}\vec{B}= \mu_0 \vec{j}$ ,

$\vec{rot}(\vec{rot}\vec{A})= \mu_0 \vec{j}$

soit $\vec{grad}(div \vec{A}) - \nabla^{2} \vec{A} = \mu_0 \vec{j}$

or la jauge de Lorenz est $div \vec{A} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial V}{\partial t}=0$ en statique $div \vec{A}=0$ d'où :

$\nabla^{2} \vec{A} + \mu_0 \vec{j} = \vec{0}$ c'est une équation de Poisson

or dans le cas de l'électrostatique on avait l'équation de Poisson $\nabla^{2} V + \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0$ et la solution de cette équation pour une distribution localisée de charge est :