Diviseur de zéro

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Soit (A, +, ×) un anneau ; les éléments a et b de A sont des diviseurs de zéro si et seulement si :

a ≠ 0 et b ≠ 0
a × b = 0

Si l'anneau n'est pas commutatif, on précise que a est diviseur de zéro à gauche et b diviseur de zéro à droite. Un même élément peut être à la fois diviseur de zéro à droite et à gauche.

Un diviseur de zéro n'admet pas d'inverse. L'existence de diviseurs de zéro dans un anneau l'empêche notamment d'être un corps. Les éléments qui ne sont pas diviseurs de zéro sont dits réguliers.

[modifier] Exemples

L'anneau Z des entiers relatifs ne contient aucun diviseur de zéro, mais dans l'anneau Z² (où addition et multiplication s'appliquent aux composantes), on a (0,1) × (1,0) = (0,0), égalité qui révèle que (0,1) et (1,0) sont des diviseurs de zéro.

Plus généralement, dans un anneau produit, il y a toujours des diviseurs de zéro puisque l'on a encore (0,1) × (1,0) = (0,0).

Dans l'anneau Z/6Z, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 3×4 est congru à 0 modulo 6.

Plus généralement, dans l'anneau Z/nZ, les diviseurs de 0 sont exactement les classes modulo n des entiers relatifs qui ne sont pas premiers avec n. Cette affirmation est une simple reformulation de l'identité de Bézout.

L'anneau $\mathcal M_2(\mathbb R)$ des matrices 2×2 réelles contient aussi des diviseurs de zéro, dont la matrice $\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$ , puisque nous avons $\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ -2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}$

Plus généralement les diviseurs de 0 à droite dans

M n (R)

sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives.

Les algèbres de fonctions offrent de nombreux exemples de diviseurs de 0. En effet, si X est un ensemble, et R^X l'algèbre des fonctions réelles sur X, toute fonction non nulle mais admettant un point d'annulation est un diviseur de 0.

Plus généralement, si A est une algèbre, désignons par A^X l'algèbre des fonctions $X\rightarrow A$ . Les diviseurs de 0 de A^X sont exactement les fonctions non nulles admettant 0 ou un diviseur de 0 dans leur image.

[modifier] Curiosités non commutatives

Dans le cas d'un anneau non commutatif, un diviseur de zéro à gauche ne peut pas être inversible à gauche, mais il peut l'être à droite. De même, un diviseur de zéro à droite ne peut pas être inversible à droite, mais il peut l'être à gauche. De tels éléments existent en particulier dans l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

Pour u : P --> P'

v : P --> Primitive de P s'annulant en 0

w : P --> P(0)

on a effectivement u v = 1, u w = 0 et w v = 0.

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