Intervalo (muziko)

El Vikipedio

En muzikteorio, intervalo estas la diferenco je tonalto inter du tonoj. Ĝi ofte indikas tiujn du tonojn mem (nomatajn ankaŭ diado). Intervalklaso estas mezurata per la plej mallonga ebla distanco inter siaj du tonaltoj.

Enhavo

1 Etikedo de intervaloj
2 Simplaj diatonaj intervaloj
3 Orditaj kaj neorditaj intervaloj de tonaltoj kaj tonaltklasoj
4 Intervalcikloj
- 4.1 Fonto
5 Intervalforto kaj intervalradiko
6 Aliaj intervaloj
7 Eksteraj ligiloj

[redaktu] Etikedo de intervaloj

Intervaloj povas esti etikeditaj laŭ sia tonalta rejŝo, kiel oni kutime faras en agordo ĝusta. Intervaloj ankaŭ povas esti etikeditaj laŭ sia diatona funkcieco, kiel oni kutime faras en tonala muziko, kaj laŭ la nombro da tonoj, sur kiuj ili ampleksas en diatona gamo. La intervalo inter tono kaj difinita toniko estas ĝia gamgrado; tial la kvina grado de gamo estas kvinton pli alta ol la toniko. Por netonala muziko, kiel tia, kia estas skribita per la dekdutona tekniko aŭ seriismo, entjera notacio estas ofte uzata, ekz. en muzika arteorio. Fine, estas eble ankaŭ etikedi intervalojn per la logaritma mezuro de cendoj, kiel oni faras por kompari aliajn intervalojn kun tiuj de dekdutona temperado egala.

Oni povas priskribi intervalojn kiel mallarĝajn kaj larĝajn aŭ malgrandajn kaj grandajn, konsonancajn kaj disonancajn aŭ stabilajn kaj malstabilajn, malfortajn kaj fortajn, simplajn kaj malsimplajn, vertikalajn (aŭ harmoniajn) kaj liniecajn (aŭ melodiajn), kaj, se ili estas liniecaj, kiel kunligitajn/paŝojn aŭ neligitajn/saltojn. Simplaj intervaloj estas tiaj, kiaj kuŝas ene de okto, kaj malsimplaj estas tiaj, kiaj estas pli grandaj ol sola okto. Tial dekto estas nomata malsimpla trito. Liniecaj intervaloj estas sinsekvaj tonaltoj, kaj vertikalaj intervaloj estas samtempaj. Paŝoj estas liniecaj intervaloj inter sinsekvaj gamgradoj, sed saltoj ne.

Fine, la specifo de ia ajn intervalo povas plu rafiniĝi per la terminoj perfekta, maĵora, ega, kaj eta. Ekz., en tradicia okcidenta tonala teorio, kvarto estas kvarto pro la liternomoj de la koncernaj tonoj (ia ajn C sube kaj ia ajn F supere, ekz.: C, D, E, F, do estas kvar liternomaj tonaltoj de C ĝis F). Sed ĝi povas esti plu distingita kiel perfekta kvarto (C natura kaj F natura, aŭ C diesa kaj F dudiesa, ktp.), ega kvarto (C natura kaj F diesa, C diesa kaj F dudiesa, ktp.), aŭ eta kvarto (C diesa kaj F natura, aŭ C natura kaj F bemola, ktp.). Kelkaj intervaloj (unutoj, oktoj, kvartoj, kaj kvintoj) povas esti kvalifikitaj nur en la maniero ĵus ilustrita; la aliaj (dutoj, septoj, tritoj, kaj sestoj) povas esti kvalifikitaj nur kiel maĵoraj, minoraj, etaj, aŭ egaj. Maĵora ega intervalo estas ĉiam unu duonduton pli larĝa ol la responda minora intervalo; ega intervalo estas ĉiam unu duonduton pli larĝa ol la responda perfekta aŭ maĵora intervalo; kaj eta intervalo estas ĉiam unu duonduton pli mallarĝa ol la responda perfekta aŭ minora intervalo. Notu, ke povas esti ankaŭ duoble-egaj aŭ duoble-etaj intervaloj (ekz. C bemola faras duoble-egan kvarton).

Estas grave noti, ke kvankam intervaloj nomataj per iliaj harmoniaj funkcioj, ekz. maĵora duto, povas esti priskribitaj per rejŝo, cendoj, aŭ entjero, ne ĉia intervalo priskribita per tiuj pli ĝeneralaj terminoj povas esti priskribita per la nomo de harmonia funkcio. Ekz., ĉiaj maĵoraj dutoj (en dekdutona temperado egala) mezuriĝas je 200 cendoj, sed ne ĉia intervalo de 200 cendoj estas maĵora duto.

[redaktu] Simplaj diatonaj intervaloj

Jene listiĝas la plej ofte uzataj harmonia funkcio, rejŝo, entjero, cendoj, kaj relativaj konsonanco aŭ disonanco de oftaj diatonaj simplaj intervaloj. Estas multaj aliaj intervaloj kaj rejŝoj; nur kelkajn ni montras jene.

[redaktu] Oftaj simplaj intervaloj

Unuto: La rejŝo 1:1 faras unuton (specife, perfektan unuton; estas aliaj variaĵoj), du tonojn je la sama tonalto. En entjera notacio ĝin signas 0 kaj ĝi ankaŭ mezuriĝas je 0 cendoj. Ĝi estas la plej simpla kaj plej konsonanca el la intervaloj.
Okto: La rejŝo 2:1 faras okton (specife, perfektan okton; estas aliaj variaĵoj), du tonojn, el kiuj la pli alta havas tonalton duoblan ol tiun de la pli malalta. (Tiaj tonalto-rejŝoj, ni notu, dependas enfine de la fizika vibra frekvenco de la koncernaj tonaltoj.) Ĝi mezuriĝas je 1200 cendoj kaj en entjera notacio ĝin signas 0, kiel la unuton. Okta ekvivalenteco priskribas la percepton, ke oktoj estas la sama tono, ke la samaj tonoj ripetiĝas tra la tonaltamplekso. Tial C kaj C', C5 kaj C3, kaj C kaj iu ajn C iom ajn da oktoj super aŭ sub ĝi, ĉiuj estas la sama tono aŭ tonaltklaso. Tial la okto estas iomete malpli aŭ tiom same konsonanca kiel la unuto.
Perfekta kvinto & perfekta kvarto: La rejŝo 3:2 faras perfektan kvinton, du tonaltojn, unu tonon 1,5 fojojn pli altan ol la alia. En entjera notacio ĝin signas 7 kaj ĝi mezuriĝas je 700 cendoj en temperado egala, kio estas rejŝo du (1,955) cendojn bemola de 3:2. La inverto de perfekta kvinto estas perfekta kvarto. Perfektan kvarton faras la rejŝo 4:3, 5 en entjera notacio, kaj 500 cendoj en temperado egala, du cendojn diesa de 4:3. La unuto, okto, kvinto, kaj kvarto estas konsiderataj "perfektaj intervaloj" kaj tial la plej konsonancaj, en tiu ordo.
Maĵora trito & minora sesto: La rejŝo 5:4 faras maĵoran triton. En entjera notacio ĝin signas 4 kaj ĝi mezuriĝas 400 cendojn, kio estas 13,686 cendojn diesa de 5:4. Ĝia inverto estas minora sesto, 8:5, kiun signas 8 en entjera notacio kaj kiu mezuriĝas 800 cendojn en temperado egala, 13,686 cendojn bemola de 8:5. La tritoj kaj sestoj estas konsiderataj la plej energiaj kaj interesaj el la konsonancaj intervaloj, kaj estas tial la malplej konsonancaj, en jena ordo: maĵora trito, maĵora sesto, minora trito, minora sesto.
Minora trito & maĵora sesto: La rejŝo 6:5 faras minoran triton. En entjera notacio ĝin signas 3, kaj ĝi mezuriĝas 300 cendojn en temperado egala, kio estas 15,641 cendojn bemola de 6:5. Ĝia inverto estas maĵora sesto, 5:3, kiun signas 9 en entjera notacio, kaj kiu mezuriĝas 900 cendojn en temperado egala, kio estas 15,641 cendojn diesa de 5:3.
Maĵora duto & minora septo: La rejŝo 9:8 faras maĵoran duton. En entjera notacio ĝin signas 2 kaj ĝi mezuriĝas 200 cendojn, kio estas 3,91 cendojn bemola de 9:8. Ĝia inverto estas minora septo, 16:9, kiun signas 10 en entjera notacio kaj kiu mezuriĝas 1000 cendojn aŭ 3,91 cendojn diesa de 16:9. Ĝi estas la unua disonanca intervalo kaj estas ofte uzata inter akordotonoj kiel en la dominanta septa akordo, kiu prezentas la minoran septon inter la kvina kaj dua gradoj de maĵora gamo. Neegale temperita minora septo estas ankaŭ unu el la blusaj tonoj uzataj en bluso kaj ĵazo. La maĵora duto nomiĝas ankaŭ plenduto aŭ plentono.
Minora duto kaj maĵora septo: Simile al la ĉi-supraj intervaloj, multaj rejŝoj estas uzataj por la minora duto, sed 16:15 estas la plej ofta. En entjera notacio ĝin signas 1 kaj ĝi mezuriĝas 100 cendojn, kio estas 11,731 cendojn bemola de 16:15, sed sufiĉe proksima al 18:17. Ĝia inverto estas la maĵora septo, kutime 15:8, kiun signas 11 en entjera notacio kaj kiu mezuriĝas 1100 cendojn. La minora duto kaj maĵora septo estas la plej disonancaj intervaloj eble escepte de la tritono, ĉi-sube. La minora duto ankaŭ nomiĝas duonduto aŭ duontono.

[redaktu] Egaj kaj etaj intervaloj

Kune kun ĉiuj dutoj kaj septoj, ĉiuj egaj kaj etaj intervaloj estas konsiderataj disonancaj. Tamen, en dekdutona temperado egala, la plej multaj intervaloj, kiam egaj aŭ etaj, estas enharmone ekvivalentaj al alia intervalo — ekzemple, eta minora duto estas unuto — kaj tial nur la kvarto kaj kvinto estas kutime modifataj.

Tritono: La tritonon, kiu povas esti eta kvinto aŭ ega kvarto, signas 6 en entjera notacio kaj ĝi mezuriĝas 600 cendojn. Ĝin povas aproksimi la rejŝo 17:12, kies inverto estas 24:17 kaj sonas 6 cendojn pli malalte ol 17:12. (Ideale, la tritono devus egali al sia propra inverto.) Ĝi nomiĝas "tritono" ĉar ĝi ampleksas tri plendutojn. Ĝi ekzakte, simetrie dividas la okton en duonojn kaj estis konsiderata la plej disonanca intervalo, laŭvorte "la diabla intervalo" (diabolus in musica). Ĝi ludas gravan rolon en la dominanta septa akordo.

[redaktu] Inversigo

Kiel oni povas tiri el la ĉi-supra diskuto, ĉia intervalo povas suferi inverton, interŝanĝante la poziciojn de la supra kaj la malsupra tonaltoj (kvankam estas malpli kutime paroli pri inversto de unutoj aŭ oktoj). Ekz., la kvarto inter pli malalta C kaj pli alta F povas esti invertita por fari kvinton, kun pli malalta F kaj pli alta C. Determini la ekzaktan naturon de la inverto de ia ajn intervalo estas facile. Jen estas du reguloj, kiuj aplikiĝas al ĉiaj simplaj intervaloj, kaj per memkomprenebla etendo ankaŭ al malsimplaj intervaloj:

1. La numero de ĉia intervalo kaj la numero de ĝia inverto ĉiam faras naŭ (kvar + kvin = naŭ, en la ekzemplo ĵus donita).

2. La inverto de maĵora intervalo estas minora intervalo (kaj inverse); la inverto de perfekta intervalo ankaŭ estas perfekta; la inverto de ega intervalo estas eta intervalo (kaj inverse); kaj la inverto de duoble-ega intervalo estas duoble-eta intervalo (kaj inverse).

Plena ekzemplo: E bemola sube kaj C natura supere faras maĵoran seston. Per la du reguloj ĵus donitaj, C natura sube kaj E bemola supere devas fari minoran triton.

[redaktu] Mallongigite

Intervaloj estas ofte mallongigitaj per P por perfektaj, m por minoraj, M por maĵoraj, d por etaj (diminutionem), A por egaj (augmentationem), sekvataj de la diatona intervalnumero. La okto estas P8, kaj unuto estas kutime nomata simple "unuto" sed povas esti etikedita P1. La tritono, ega kvarto aŭ eta kvinto estas ofte π aŭ TT.

Tial minora duto estas m2, perfekta kvinto estas P5, eta 3to estas d3, kaj ega kvarto estas A4.

La intervaloj en la kromata gamo estas (en supreniranta melodia ordo): P1, m2, M2, m3, M3, P4, π, P5, m6, M6, M7, P8.

[redaktu] Generacioj de intervaloj

La intervaloj povas dividiĝi en kvin "generaciojn", kiuj respondas al negativaj potencoj de du:
Nula generacio (1+2⁻⁰): P1, P8.
Unua generacio (1+2⁻¹): P4, P5.
Dua generacio (1+2⁻²): M3, m3, M6, m6.
Tria generacio (1+2⁻³): M2, m7.
Kvara generacio (1+2⁻⁴): m2, M7, π.

Ĉiu sinsekva generacio estas pli disonanca ol la antaŭa.

Jen estas la derivo de ĉiu generacio de la antaŭa: Komencu per la rejŝo de la okto, 2:1. Mutipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du, farante 4:2. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen, kio donas 4:3:2. Tio ĉi rompiĝas en paron da rejŝoj — 4:3 kaj 3:2. La minora estas 4:3 kaj la maĵora estas 3:2. Tio estas la perfekta kvarto kaj la perfekta kvinto, respektive, kaj ili estas la unua generacio.

Nun prenu la rejŝon de la perfekta kvinto, 3:2. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du por ricevi 6:4. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen, farante 6:5:4. Tio ĉi rompiĝas en paron da rejŝoj — 6:5 kaj 5:4. La minora estas 6:5 kaj la maĵora estas 5:4. Tio estas la minora trito kaj la maĵora trito, respektive. Iliaj invertoj estas 5:3 kaj 8:5, kiuj estas la maĵora sesto kaj la minora sesto, respektive. Tiuj do estas la dua generacio: M3, m3, M6, m6.

Prenu nun la rejŝon de la maĵora trito, 5:4. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du, kio donas 10:8. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen, kio donas 10:9:8. Tio ĉi rompiĝas en paron da rejŝoj — 10:9 kaj 9:8. La minora estas 10:9 kaj la maĵora estas 9:8. Ambaŭ tiuj estas plendutoj, t.e. maĵoraj dutoj. La inverto de 9:8 estas 16:9, minora septo. Tiuj do estas la tria generacio: M2, m7.

Nun prenu la rejŝon de la plenduto, 9:8. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du, kio donas 18:16. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen por ricevi 18:17:16. Tio ĉi rompiĝas en paron da rejŝoj — 18:17 kaj 17:16. La minora estas 18:17 kaj la maĵora estas 17:16. Ambaŭ tiuj estas duondutoj, t.e. minoraj dutoj. La inverto de 18:17 estas 17:9, maĵora septo. La lasta intervalo estas la tritono. La tritono ideale egalas al la dua radiko de du, kiu estas neracia, sed kiu povas esti aproksimita per aldono de duonduto al perfekta kvarto:

${4 \over 3} \times {17 \over 16} = {1 \times 17 \over 3 \times 4} = {17 \over 12}$

aŭ

${4 \over 3} \times {18 \over 17} = {4 \times 6 \over 1 \times 17} = {24 \over 17},$

kiu estas la inverto de 17:12. 24:17 havas la saman denominatoron kiel 18:17, kaj 17:12 havas la saman numeratoron kiel 17:16. Tiuj do estas la intervaloj de la kvara generacio: m2, M7, π.

[redaktu] Orditaj kaj neorditaj intervaloj de tonaltoj kaj tonaltklasoj

En netonala aŭ muzika arteorio estas multaj specoj de intervaloj, el kiuj la unua estas ordita tonaltintervalo, la distanco inter du tonaltoj supren aŭ malsupren. Ekzemple, la intervalo de C ĝis G supren estas 7, sed la intervalo de G ĝis C malsupren estas −7. Per 12 en entjera notacio kaj modulo, ordita tonaltintervalo ip povas esti difinita, por iuj ajn du tonaltoj x kaj y, kiel:

$\operatorname{ip}\langle x,y\rangle = y-x$

kaj:

$\operatorname{ip}\langle y,x\rangle = x-y$

inverse.

Oni povas mezuri la distancon inter du tonaltoj tamen ne kalkulante pri direkto per la neordita tonaltintervalo, kiu similas al la intervalo de tonala teorio. Tio ĉi povas esti difinita kiel:

$\operatorname{ip}(x,y) = |y-x|$

La intervalo inter tonaltklasoj povas esti mezurita per orditaj kaj neorditaj tonaltklasintervaloj. La orditan, ankaŭ nomatan direktita intervalo, oni povas konsideri la mezuron supren, kiu, ĉar ni pritraktas tonaltklasojn, dependas de tio, kiun tonalton ni elektas kiel 0. Tial la orditan tonaltklasintervalon, i<x, y>, ni povas difini kiel:

$\operatorname{i}\langle x,y\rangle = y-x$

mod 12, kompreneble.

[redaktu] Intervalcikloj

Intervalcikloj "malvolvas ununuran revenantan intervalon en serio, kiu fermiĝas per reveno al la unua tonaltklaso", kaj estas ennotigitaj de George Perle per la litero "C", por ciklo, kun intervalklasa entjero por distingi la intervalon. Tial la etseptan akordon reprezentus C3, kaj la egan triadon C4. Oni povas aldoni superskribon por distingi transponojn, uzante 0–11 por indiki la plej malaltan tonaltklason en la ciklo. "Tiuj ĉi intervalcikloj ludas fundamentan rolon en la harmonia organizo de postdiatona muziko kaj ilin oni povas facile rekoni nomante la ciklon." (Perle, 1990)

[redaktu] Fonto

PERLE, George (1990). The Listening Composer (La aŭskultanta komponisto), p. 21. California: University of California Press. ISBN 0520069919.

[redaktu] Intervalforto kaj intervalradiko

[redaktu] Intervalforto

David Cope sugestas la koncepton de intervalforto, laŭ kiu la forton de intervalo determinas ĝia aproksimo al pli malalta, pli forta, aŭ pli alta, pli malforta, pozicio en la harmona serio.

[redaktu] Intervalradikoj

Hindemith kaj David Cope ambaŭ sugestas la koncepton de intervalradikoj. Por determini radikon de intervalo, oni trovas ĝian plej proksiman aproksimon en la harmona serio. La radiko de perfekta kvarto, tial, estas ĝia supra tono ĉar ĝi estas okto de la fundamento en la hipotezita harmona serio. La malsupra tono de ĉia nepara diatone numerita intervalo estas la radiko, kaj same estas la suproj de ĉiaj paraj numeritaj intervaloj. La radiko de kolekto da intervaloj aŭ de akordo estas tial determinita per la intervalradiko de sia plej forta intervalo.

Rilate ĝian utilecon, Cope provizas la ekzemplon, ke la finan tonikan akordon de kelke da populara muziko oni povas analizi tradicie kiel "submediantan ses-kvin-akordon", aŭ kiel septan akordon en la unua inverto (eble la dominanton de la medianto V/iii). Laŭ la intervalradiko de la plej forta intervalo de la akordo (en la unua inverto, CEGA), la perfekta kvinto (C-G), estas la malsupra C, la toniko.

..........

[redaktu] Fonto

COPE, David (1997). Techniques of the Contemporary Composer (Teknikoj de la nuntempa komponisto), p.40-41. New York, New York: Schirmer Books. ISBN 0028647378.

[redaktu] Aliaj intervaloj

Estas ankaŭ multaj intervaloj ne troviĝantaj en la kromata gamo aŭ etikeditaj per diatona funkcio, kiuj havas propran nomon. Multaj el tiuj ĉi intervaloj priskribas diferencetojn inter tonoj agorditaj laŭ la uzata agorda sistemo. La plej multaj el jenaj intervaloj povas esti priskribitaj kiel mikrotonoj.

Pitagora komao estas la diferenco inter dek-du ĝuste agorditaj perfektaj kvintoj kaj sep oktoj. Ĝin esprimas la frenkvenca rejŝo 531441:524288, kaj ĝi egalas al 23,46 cendoj.
Sintona komao estas la diferenco inter kvar ĝuste agorditaj perfektaj kvintoj kaj du oktoj plus maĵora trito. Ĝin esprimas la rejŝo 81:80, kaj ĝi egalas al 21,51 cendoj.
Septima komao estas 64/63, kaj estas la diferenco inter la pitagora aŭ 3-lima "7to" kaj la "harmona 7to".
Diesis estas ĝenerale uzata por signifi la diferencon inter tri ĝuste agorditaj maĵoraj tritoj kaj unu okto. Ĝin esprimas la rejŝo 128:125, kaj ĝi egalas al 41,06 cendoj. Tamen ĝin oni uzis por indiki aliajn malgrandajn intervalojn.
Skismo (schisma, aŭ skhisma) estas la diferenco inter kvin oktoj kaj ok ĝuste agorditaj kvintoj plus unu ĝuste agordita maĵora trito. Ĝin esprimas la rejŝo 32805:32768, kaj ĝi egalas al 1,95 cendoj. Ĝi estas ankaŭ la diferenco inter la pitagora kaj sintona komaoj.
- Skisma maĵora trito estas skismo malsama ol ĝusta maĵora trito, ok kvintojn malsupren kaj kvin oktojn supren, Fb en C.
Kvaronduto estas duone tiel larĝa kiel duonduto, kiu estas duone tiel larĝa kiel plenduto.
Kleisma estas ses maĵorajn tritojn supren, kvin kvintojn malsupren, kaj unu okton supren, aŭ, pli kutime, 225:224.
Limma estas la rejŝo 256:243, kiu estas la duonduto en agordo pitagora.
Dutono estas la pitagora rejŝo 81:64, du tonoj 9:8.
Krome, iuj kulturoj tra la mondo havas proprajn nomojn por intervaloj trovataj en sia muziko.
Vidu ankaŭ specifa kaj ĝenerala intervalo.