Koule

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Koule v euklidovském zobrazení

Koule je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů, jejichž vzdálenost od zadaného bodu (středu) je rovna nebo menší než zadaný poloměr. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféru nebo sférickou plochu). Pojmy koule a sféry se tedy v matematice obvykle rozlišuji, na rozdíl od běžné řeči.

Obsah

1 Vlastnosti
2 Rovnice
- 2.1 Parametrické vyjádření
- 2.2 Rovnice kvadratické plochy
3 Zobecnění
4 Podívejte se také na

[editovat] Vlastnosti

Koule je dokonale symetrická: bodově podle středu, osově a rovinně podle libovolné přímky, resp. roviny procházející středem.
Objem: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Velikost povrchu: $S = 4π r 2$
Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší povrch a naopak, mezi plochami s daným povrchem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě kapek a bublin, jejichž povrch je minimalizován povrchovým napětím.
Koule vznikne otáčením kruhu podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela elipsa, vznikl by rotační elipsoid.
Válec opsaný kouli má povrch i objem rovný 3/2 povrchu, resp. objemu koule.
Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí sférické geometrie.

[editovat] Rovnice

V analytické geometrii lze kulovou plochu se středem v (x₀, y₀, z₀) a poloměrem r definovat jako množinu bodů (x, y, z), které splňují rovnici

${(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 + {(z-z_0)}^2 = r^2$ .

Koule je pak vyplněním této plochy, tzn. množina bodů, kde levá strana je menší nebo rovna r².

[editovat] Parametrické vyjádření

Kulovou plochu lze parametrizovat následujícími rovnicemi:

$x = x_0 + r \sin\theta \cos\varphi$

$y = y_0 + r \sin\theta \sin\varphi$

$z = z_0 + r \cos\theta \,$

přičemž $0\leq\theta\leq\pi$ , $-\pi<\varphi\leq\pi$ .

[editovat] Rovnice kvadratické plochy

Z obecné rovnice kvadratické plochy lze získat rovnici kulové plochy, pokud ji lze zapsat jako

x 2 + y 2 + z 2 + m x + n y + p z + q = 0

Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny $x y, x z, y z$ a koeficienty u druhých mocnin jsou stejné.

Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru

${\left(x+\frac{m}{2}\right)}^2 + {\left(y+\frac{n}{2}\right)}^2 + {\left(z+\frac{p}{2}\right)}^2 = \frac{m^2+n^2+p^2}{4}-q$

Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem $\left[-\frac{m}{2},-\frac{n}{2},-\frac{p}{2}\right]$ a poloměrem $r=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2+n^2+p^2)-q}$ . Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o reálné kulové ploše. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod prostoru (jde o tzv. imaginární kulovou plochu). Je-li výraz pod odmocninou nulový, vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.

[editovat] Zobecnění

Kouli (resp. kulovou plochu), lze považovat za trojrozměrnou obdobu kruhu (resp. kružnice). Obdoba koule v ještě vyšších dimenzích je tzv. hyperkoule.

V metrickém prostoru X je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je ostře menší než poloměr r, tedy $U(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)<r\}$ . Otevřená koule je pochopitelně otevřená množina.