Vzdálenost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vzdálenost je výraz pro odlehlost dvou bodů (nebo útvarů) a pro vyjádření jejich vzájemné polohy. Ve fyzice zpravidla označuje prostorovou nebo časovou odlehlost věcí, v matematice však musí splňovat více kritérií.

[editovat] Matematické zavedení

[editovat] Obecný případ

V matematické analýze je vzdálenost funkce ρ: M x M -> R definovaná na dané množině M splňující následující vlastnosti:

• Každým dvěma bodům z množiny M je přiřazena vzdálenost.
• Je pozitivně definitní. ρ(x,y) ≥ 0, příčemž ρ(x,y) = 0 právě když x = y. (Vzdálenost je vždy kladná jsou-li dané body různé, jsou-li stejné, je nulová).
• Je symetrická. ρ(x,y) = ρ(y,x). (Vzdálenost z x do y je stejná jako z y do x).
• Splňuje trojúhelníkovou nerovnost, ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z). (Vzdálenost dvou bodů není nikdy vyšší, než součet vzdáleností do třetího bodu od bodu prvního a od bodu druhého).

Takovouto funkci nazýváme metrika. Dvojice (M,ρ) se nazývá metrický prostor.

Vzdálenost je definována i pro dva geometrické útvary (např. bod a přímka, přímka a rovina). Vzdálenost 2 útvarů se rovná nejmenší vzdálenosti 2 bodů, kde jeden bod patří jednomu útvaru a druhý bod druhému. Proto ji měříme na kolmici.

Tento matematický článek je pahýl. Můžete pomoci Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.