Dimenze
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Dimenzí vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
Vektorový prostor V dimenze n zapisujeme jako Vn, popř. píšeme 
. Prostor Vn nazýváme n-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný.
[editovat] Příklady
- Vektorový prostor
má bázi {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že 
a ještě obecněji 
(pro libovolné těleso F). - Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
- Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty
![\mathbb{R}[n]](../../../math/4/f/3/4f36bd177f0e89fa8b77fb238176e2a2.png)
má bázi 
o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto alef 0.
[editovat] Vlastnosti
Je-li W podprostorem prostoru V, pak platí 
, přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud W = V. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.
Pokud je F rozšíření tělesa K, je F vektorový prostor nad tělesem K a libovolný vektorový prostor V nad tělesem F je také vektorový prostor nad tělesem K, přičemž platí
Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze n je současně reálným vektorovým prostorem dimenze 2n.
Pokud V je vektorový prostor nad tělesem F, platí:
- Pokud je
konečné, pak 
, - pokud je nekonečné, pak
.
[editovat] Podívejte se také na
- Rozměr
- Hausdorffova dimenze
- Topologická dimenze
- Báze (algebra)
