Teorema spettrale

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In matematica, in particolare nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, il teorema spettrale si riferisce a una serie di risultati relativi agli operatori lineari oppure alle matrici. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati da una matrice diagonale in una certa base.

In dimensione finita, il teorema spettrale asserisce che ogni endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale.

In dimensione infinita, il teorema spettrale assume forme diverse a seconda del tipo di operatori cui si applica. Ad esempio, esiste una versione per operatori autoaggiunti in uno spazio di Hilbert.

Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica, chiamata decomposizione spettrale, dello spazio vettoriale.

Indice

1 In dimensione finita
2 Operatori compatti
3 Operatori limitati
- 3.1 Operatori normali
4 Operatori autoaggiunti
5 Voci correlate
6 Riferimenti

[modifica] In dimensione finita

[modifica] Caso reale

Sia T un endomorfismo simmetrico su uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, dotato di un prodotto scalare definito positivo. La condizione di simmetria dice che

$\langle T(x),y \rangle = \langle x, T(y) \rangle$

per ogni x,y in V. Il teorema spettrale asserisce che

Esiste una base ortonormale di V fatta di autovettori per T.

In particolare, l'endomorfismo T è diagonalizzabile. Una versione equivalente del teorema, enunciata con le matrici, è la seguente.

Ogni matrice simmetrica è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale.

In altre parole, per ogni matrice simmetrica S esistono una matrice ortogonale M (cioè tale che M^tM = I) ed una diagonale D per cui

S = M - 1 D M = t M D M .

In particolare, gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.

[modifica] Caso complesso

Sia T un operatore hermitiano su uno spazio vettoriale complesso V di dimensione n, dotato di una forma hermitiana. Il teorema spettrale complesso asserisce che

Esiste una base ortonormale di V fatta di autovettori per T. Gli autovalori di T sono tutti reali.

In particolare, l'endomorfismo T è diagonalizzabile. Analogamente, con le matrici otteniamo

Ogni matrice hermitiana è simile ad una matrice diagonale reale tramite una matrice unitaria.

In altre parole, per ogni matrice hermitiana H esistono una matrice unitaria U ed una diagonale reale D per cui

$S = M^{-1}DM =\, ^t\!\bar MDM.$

In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali.

[modifica] Traccia di dimostrazione

Questo risultato è di tale importanza, in molte parti della matematica, che forniamo una traccia di dimostrazione dell'enunciato nel caso complesso. Per prima cosa dimostriamo che tutti gli autovalori di T sono reali. Sia x un autovettore per T, con autovalore λ. Abbiamo

$\overline{\lambda} \langle x \mid x \rangle= \langle T x \mid x \rangle = \langle x \mid T x \rangle = \lambda \langle x \mid x \rangle .$

Segue che λ è uguale al suo coniugato e quindi è reale.

Per provare l'esistenza di una base di autovettori, usiamo l'induzione sulla dimensione di V. Poiché C è algebricamente chiuso, il polinomio caratteristico di T ha almeno una radice: quindi T ha almeno un autovalore e quindi un autovettore v. Lo spazio

$W = v^{\perp}$

formato dai vettori ortogonali a v ha dimensione n-1. L'endomorfismo T manda W in sé, poiché:

$\langle T(w), v \rangle = \langle w, T(v) \rangle = \lambda \langle w, v \rangle = 0.$

Inoltre T, considerato come endomorfismo di W è ancora simmetrico. Si procede quindi per induzione sulla dimensione n, dimostrando il teorema.

[modifica] Decomposizione spettrale

Ricordiamo che l'autospazio relativo all'autovalore λ è il sottospazio

$V_\lambda = \{\,v \in V: A v = \lambda v\,\}.$

Come immediata conseguenza del teorema spettrale otteniamo (sia nel caso reale che complesso) il teorema di decomposizione spettrale:

Gli autospazi di T sono ortogonali, e sono in somma diretta

$V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k}$

Equivalentemente, se P_λ è la proiezione ortogonale su V_λ

$P_\lambda P_\mu=0 \quad \mbox{if } \lambda \neq \mu$

$A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_k P_{\lambda_k}.$

[modifica] Operatori normali

Il teorema spettrale vale anche per gli operatori normali. Gli autovalori in questo caso sono numeri complessi in generale. La dimostrazione di questo caso è più complicata. Come sopra, per ogni matrice normale A esistono una matrice unitaria U ed una matrice diagonale D tali che

A = U - 1 D U

In questo caso però la matrice D non è necessariamente reale. Inoltre, ogni matrice che si diagonalizza in questo modo deve essere normale. I vettori colonna di U sono gli autovettori di A e sono ortogonali.

[modifica] Altre decomposizioni

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

[modifica] Operatori compatti

In dimensione infinita, ovvero negli spazi di Hilbert, l'enunciato del teorema spettrale per operatori autoaggiunti compatti è essenzialmente lo stesso del caso finito-dimensionale, sia nel caso reale che complesso.

Sia T un operatore autoaggiunto e compatto su uno spazio di Hilbert V. Esiste una base ortonormale di V formata da autovettori di A. Ogni autovalore è reale.

Nella dimostrazione, il punto cruciale è mostrare l'esistenza di almeno un autovettore. Non è possibile affidarsi ai determinanti per mostrare l'esistenza degli autovalori, e quindi si ricorre a un argomento di massimizzazione analogo alla dimostrazione del teorema min-max.

[modifica] Operatori limitati

La generalizzazione che consideriamo ora è quella ad un operatore autoaggiunto limitato T su uno spazio di Hilbert V. In contrasto con gli operatori compatti, che ricalcano molto il caso finito-dimensionale, questi si comportano in modo molto diverso: possono non avere autovalori, neppure nel caso complesso. Ad esempio, è facile vedere che l'operatore S su L²[0, 1] definito come

$S(\varphi)(t) = t\cdot\varphi(t)$

è continuo e non ha autovalori. Il teorema spettrale assume quindi una forma differente.

Sia T un operatore autoaggiunto limitato su uno spazio di Hilbert V. Esiste uno spazio di misura (X, M, μ), una funzione misurabile a valori reali f su X e un operatore unitario U:H → L²_μ(X) tali che

U * S U = T

dove S è l'operatore di moltiplicazione:

$S(\varphi)(x) = f(x)\cdot \varphi(x).$

Questo risultato è l'inizio di una vasta area di ricerca dell'analisi funzionale chiamata teoria degli operatori.

[modifica] Operatori normali

Un operatore normale su uno spazio di Hilbert può non avere autovalori; ad esempio la traslazione bilaterale sullo spazio di Hilbert l²(Z) non ha autovalori. Esiste anche un teorema spettrale per gli operatori normali sugli spazi di Hilbert, nei quali la somma presente nel teorema spettrale a dimensioni finite è sostituita da un integrale della funzione coordinata sullo spettro pesato su una misura di proiezione.

Quando l'operatore normale in questione è compatto, questo teorema spettrale si riduce al caso finito-dimensionale, a parte il fatto che l'operatore può essere espresso come combinazione lineare di un numero infinito di proiezioni.

[modifica] Operatori autoaggiunti

Molti operatori lineari importanti che si incontrano in analisi, come gli operatori differenziali, non sono limitati. Esiste comunque un teorema spettrale per operatori autoaggiunti che si applica in molti di questi casi. Per dare un esempio, ogni operatore differenziale a coefficienti costanti è unitariamente equivalente a un operatore di moltiplicazione. Di fatto l'operatore unitario che implementa questa equivalenza è la trasformata di Fourier.