Rango (algebra lineare)

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Nell'algebra lineare, il rango di una matrice $A$ a valori in un certo campo è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti in $A$ .

Il rango di una matrice può essere formulato in numerosi modi equivalenti, ed è una quantità fondamentale in algebra lineare, utile per risolvere i sistemi lineari e studiare le applicazioni lineari. È comunemente indicato con rango(A), rank(A) o rk(A).

[modifica] Definizioni alternative

Sia $A_{m\times n}$ una matrice, a valori in un campo $K$ . Le seguenti definizioni di rango di $A$ sono tutte equivalenti:

Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti
Il massimo numero di righe linearmente indipendenti
La dimensione del sottospazio di $K m$ generato dalle colonne di $A$
La dimensione del sottospazio di $K n$ generato dalle righe di $A$
La dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare $L A$ da $K n$ in $K n$ seguente:

$L_A:x \mapsto Ax$
Il massimo ordine di un minore invertibile di $A$

[modifica] Rango di una trasformazione lineare

Si può attribuire un rango anche ad una generica applicazione lineare, definendolo come la dimensione dello spazio vettoriale dato dalla sua immagine.

In una esposizione con fini tendenzialmente generali una definizione di questo genere ha il vantaggio di essere applicabile senza la necessità di fare riferimento ad alcuna matrice che rappresenti la trasformazione. Quando invece ci si trova in un ambito di applicazioni concrete, il calcolo effettivo del rango di una trasformazione ben raramente si può ottenere evitando di operare su una matrice.

[modifica] Proprietà del rango di una matrice

Assumiamo che A sia una matrice m-per-n sul campo F e che descriva una mappa lineare f come sopra.

solo la matrice nulla ha rango 0
il rango di una matrice A è uguale al rango della sua trasposta
il rango di A è al massimo min(m,n)
f è iniettiva se e solo se A ha rango n (in questo caso diciamo che A ha rango colonna massimo).
f è suriettiva se e solo se A ha rango m (in questo caso diciamo che A ha rango riga massimo).
nel caso di una matrice quadrata A (cioè, m = n), allora A è invertibile se e solo se A ha rango n (diciamo che ha A ha rango massimo).
Se B è una generica matrice n-per-k, allora il rango di AB è al massimo il minimo fra il rango di A e il rango di B.

Come esempio del caso "<", si consideri il prodotto

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Entrambi i fattori hanno rango 1, ma il prodotto ha rango 0.

Se B è una matrice n-per-k con rango n, allora AB ha lo stesso rango di A.
Se C è una matrice l-per-m con rango m, allora CA ha lo stesso rango di A.
Il rango di A è uguale a r se e solo se esiste una matrice invertibile X m-per-m e una matrice invertibile Y n-per-ntali che

$XAY = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

dove I_r denota la matrice identità r-per-r.

Il rango di una matrice più la nullità della matrice è uguale al numero di colonne della matrice (questo è il teorema del rango, o "teorema del rango-nullità").
Il rango di una matrice è un invariante completo per matrici equivalenti destra-sinistra

[modifica] Calcolo

Il modo più semplice per calcolare il rango di una matrice A è dato dall'algoritmo di Gauss. La forma a scala di righe di A prodotta dall'algoritmo di Gauss ha lo stesso rango di A, e il suo rango può essere letto come numero di righe non nulle.

Si consideri ad esempio la matrice 4-per-4

$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Vediamo che la seconda colonna è il doppio della prima colonna, e la quarta colonna è uguale alla somma della prima e della terza. La prima e la terza colonna sono linearmente indipendenti, quindi il rango di A è due. Questo può essere confermato dall'algoritmo di Gauss, che produce la seguente forma a scalino di A:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

con due righe non nulle.

[modifica] Generalizzazioni

Esitono diverse generalizzazioni del concetto di rango per matrici su anelli arbitrari. In queste generalizzazioni il rango colonna, il rango riga, dimensione dello spazio colonna, dimensione dello spazio riga di una matrice possono essere diversi l'uno dall'altro o non esistere.

Un'altra generalizzazione riguarda le matroidi, entità che generalizzano le matrici.

[modifica] Bibliografia

(EN) Werner Greub (1981): Linear algebra, 4th edition, Springer Verlag
(EN) Roger A. Horn, Charles R. Johnson (1985): Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 0-521-38632-2.

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