Matrice normale
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Una matrice quadrata a valori complessi A è una matrice normale sse
- A * A = AA *
dove A* è la coniugata trasposta di A (se A è una matrice reale, è uguale alla trasposta di A).
[modifica] Esempi
Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se A è unitaria A*A=AA*=I. Se A è hermitiana, allora A*=A e quindi AA*=AA=A*A.
Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive, ad esempio:
è normale poiché
ma la matrice è chiaramente non unitaria, non hermitiana, e non definita positiva.
[modifica] Conseguenze
È utile pensare le matrici normali in analogia ai numeri complessi, le matrici normali invertibili in analogia ai numeri complessi non nulli, la complessa trasposta in analogia al complesso coniugato, le matrici unitarie in analogia ai numeri complessi di valore assoluto 1, le matrici hermitiane in analogia ai numeri reali e le matrici definite positive in analogia ai numeri reali positivi.
Il concetto di normalità è molto importante perché le matrici normali sono esattamente quelle a cui si applica il teorema spettrale: in altre parole, le matrici normali sono esattamente le matrici che possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di Cn opportunamente scelta. Formulata in modo diverso: una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano Cn e sono ortogonali due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di Cn.
In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se A e B sono normali con AB = BA, allora sia AB che A + B sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente A e B nel seguente senso: esiste una matrice unitaria U tale che UAU* e UBU* sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di U* sono autovettori sia di A che di B e formano una base ortonormale di Cn.
Se A è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria U e una matrice definita positiva R tale che A = RU = UR. Le matrici R e U sono unicamente determinate da A. Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.
Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C* algebre.
