Собственные вектора, значения и пространства

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Определение собственного числа и собственного вектора квадратной матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор $\vec v$ , который удовлетворяет соотношению $M \vec v = \lambda \vec v$ , где $λ$ — собственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные вектора матрицы, определяющей это преобразование.

[править] Свойства собственных векторов и значений

Линейная комбинация собственных векторов матрицы $M$ , соответствующих одному и тому же собственному значению $λ$ , также является собственным вектором $M$ с собственным значением $λ$ .

Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Сумма размерностей собственных подпространств, соответствующих всем собственным значениям равна размерности матрицы (в случае рассмотрения комплексных чисел).

[править] Вычисление собственных векторов и значений методом прямых итераций

Самым простым способом численного нахождения собственных значений и собственных значений является метод прямых итераций. Он заключается в построении последовательности векторов $\vec v_0$ , $M \vec v_0$ , $MM \vec v_0$ , $MMM \vec v_0$ и т. д., то есть в многократном домножении случайного ненулевого начального вектора $v 0$ на матрицу M. Можно доказать, что если вектор $M \vec v_0$ имеет ненулевые проекции на все собственные вектора M (случайное взятие координат $\vec v_0$ гарантирует это с почти единичной вероятностью), то такой итеративный процесс сойдётся к собственному вектору $\vec v$ , соответствующему максимальному собственному значению $λ m a x$ . Вычисление остальных собственных значений возможно с помощью вычитания проекции очередного вектора итераций на подпространство из уже полученных векторов.

Недостаток этого метода заключается в том, что он не работает на матрицах, у которых совпадает абсолютная величина каких-то двух собственных значений. Например, таким образом невозможно найти ни одного собственного вектора дискретного косинусного преобразования: так как оно является обратным по отношению к самому себе, то повторное его применение к случайному вектору приведёт к заведомо расходящейся последовательности, состоящей из двух чередующихся векторов.