Уласныя лікі, вэктары й прасторы

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

Мал. 1. У гэтым пераўтварэньні Моны Лізы выява была дэфармаваная такім чынам, што яе вертыкальная вось не зьмянілася. (Заўвага: куты другой выявы абрэзаныя.) Блакітны вэктар зьмяніў напрамак, але ж чырвоны застаўся нязьменным. Чырвоны вэктар і ёсьць уласным вэктарам пераўтварэння (у адрозьненьне ад блакітнага. З прычыны таго, что чырвоны вэктар не расьцягнуўся і ня сьціснуўся, яго ўласны лік ёсьць 1. Адначасова ўсе вэктары, накіраваныя ўздоўж тое самае вертыкальнае рысы, што й чырвоны, таксама ёсьць уласнымі вэктарамі (з тым жа ўласным лікам). Яны ўтвараюць уласную прастору гэтага ўласнага ліку.

У матэматыцы ўласным вэктарам (eigenvector) пераўтварэньня^[1] ёсьць ненулявы вэктар, напрамак якога не зьмяняецца паводле пераўтварэньня. Каэфіцыент расьцягненьня вэктару ёсьць яго ўласным лікам (гл. прыклад на малюнку 1). Вельмі часта пераўтварэньне цалкам апісваецца яго ўласнымі лікамі й вэктарамі. Уласная простора ёсьць мноствам уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі.

Упершыню ў гэтым сэнсе слова ўласны было выкарыстана нямецкім матэматыкам Гільбертам у 1904 годзе. Нямецкае слова "eigen" можна перакласьці як "уласны", "індывідуальны".

[рэдагаваць] Азначэньні

Пераўтварэньні прасторы (накшталт зруху, павароту, адлюстраваньня, расьцягненьня, сьцісканьня і іншых) могуць быць апісаныя тым, як яны ўзьдзейнічаюць на вэктары.

Уласныя вэктары пераўтварэньняў ёсьць вэктарамі^[2], якія пасьля пераўтварэньня не зьмяніліся ці модуль якіх памножыўся на каэфіцыент расьцягненьня.
Уласны лік уласнага вэктару ёсьць яго каэфіцыентам расьцягненьня.
Уласная прастора ёсьць прастора, якая складаецца з усіх уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі разам з нуль-вэктарам, які сам ня ёсьць уласным вэктарам.

[рэдагаваць] Раўнаньне ўласнага ліку

Вэктар $\vec {v_\lambda}$ ёсьць уласным вэктарам, а $λ$ – уласным лікам пераўтварэньня T калі праўдзівае раўнаньне:

$T(\vec {v_\lambda})=\lambda\, \vec {v_\lambda}$ ,

дзе $T(\vec {v_\lambda})$ – вэктар, які ёсьць рэзультатам пераўтварэньня T над вэктарам $\vec {v_\lambda}$ .

Няхай $T$ ёсьць лінейным пераўтварэньнем (а, значыць, раўнаньне $T(a{\vec v}+b{\vec w})=aT({\vec v})+bT({\vec w})$ праўдзівае для любых скаляраў a, b ды вэктараў $\vec v$ і $\vec w$ ). Вылучым базіс у гэтай вэктарнай прасторы. Тады $T$ і $\vec {v_\lambda}$ могуць быць запісаныя адносна базіса ў выглядзе матрыцы $A T$ і вэртыкальнага вэктара $\vec {v_\lambda}$ . Раўнаньне ўласнага ліку можа быць запісаным наступным чынам:

$A_T\, \vec {v_\lambda}=\lambda\, \vec {v_\lambda}$

[рэдагаваць] Заўвагі

↑ У дадзеным выпадку разглядаюцца толькі лінейныя пераўтварэньні з вэктарнае прасторы ў гэтую ж самую вэктарную прастору.
↑ З прычыны таго, што ўсе лінейныя пераўтварэньні пакідаюць нуль-вэктар нязьменным, ён ня лічыцца ўласным вэктарам.