ویژہ قیمت

وکیپیڈیا سے

ایک سمتیہ فنکشن $\ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ کے لیے اگر سمتیہ کی ایسی قیمت $\ X=X^*$ موجود ہو جس کے لیے،

$\ f(X^*) = \lambda X^* \,\,, \lambda \in \mathbb{C}$

جہاں $\ \lambda$ ایک ساکن ہو، تو اس $\ \lambda$ کو فنکشن کی ویژہ قیمت اور $\ X^*$ کو ویژہ سمتیہ کہتے ہیں۔ انگریزی میں انہیں eigenvalue اور eigenvector کہتے ہیں۔

ایک لکیری سمتیہ فنکشن کو میٹرکس ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے $\ f(X) = A X$ جہاں X ایک $\ n \times 1$ میٹرکس (سمتیہ) ہے، اور A کا سائیز $\ n \times n$ ہے۔ اب ہمیں ایسے X اور $\ \lambda$ نکالنے ہیں کہ

$\ A X = \lambda X$

اس مساوات کو یوں لکھا جا سکتا ہے (جہاں I شناخت میٹرکس ہے)
$\ A X - \lambda X = 0$
$\ (A - \lambda I) X = 0$
اب یہ اسی صورت ممکن ہے، جب کہ بائیں ہاتھ کی میٹرکس کا دترمینان صفر ہو
$\ \det(A - \lambda I) = 0$
اس طرح ہمیں $\ \lambda$ میں درجہ n کی مساوات مل جاتی ہے، جس کا حل ہمیں $\ \lambda$ کی n قیمتیں دے سکتا ہے۔ ان میں سے کسی بھی ویژہ قیمت $\ \lambda$ کے لیے میٹرکس $\ A - \lambda I$ کا رتبہ n سے کم ہو گا، اس لیے سمتیہ X کے ایک جُز کی کوئی قیمت فرض کر کے ہم باقی اجزا کی قیمت n-1 یکلخت لکیری مساوات کو حل کر کے نکال سکتے ہیں۔ اس طرح ہمیں میٹرکس A کا ایک ویژہ سمتیہ معلوم ہو جائے گا۔

[ترمیم کریں] مثال 1

میٹرکس $A =\left[ \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix}\right]$ کے ویژہ قیمتیں اور ویژہ سمتیے نکالتے ہیں۔
اب دترمینان کے زریعے $\det \left[ \begin{matrix} 3-\lambda & 4 \\ 4 & 3-\lambda \end{matrix}\right] = 0$ ہمیں یہ مساوات ملتی ہے، جسے حل کر کے دو ویژہ قیمتیں مل جاتی ہیں:
$(3 - λ)(3 - λ) - 16 = 0$
$λ 2 - 6λ - 7 = 0$
$\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{6^2 -4 (1)(-7)}}{2(1)}$
اور اس طرح ہمیں دو وہژہ قیمتیں مل جاتی ہیں: $\lambda_0 = 7\,,\, \lambda_1= -1$
اب پہلی ویژہ قیمت کو استعمال کرتے ہوئے دو یکلخت لکیری مساوات ملتی ہیں۔
$\left[ \begin{matrix} 3-7 & 4 \\ 4 & 3-7 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} x_0 \\ x_1 \end{matrix}\right] = 0$
$\begin{matrix} -4 x_0 &+& 4 x_1 &=& 0 \\ 4 x_0 &-& 4 x_1 &=& 0 \end{matrix}$

غور کرو تو دوسری مساوات کو ‎-1 سے ضرب دے کر پہلی مساوات حاصل ہو جاتی ہے، یعنی مساوات لکیری آزاد نہیں۔ اس لیے ہم دوسری مساوات میں $\ x_0=1$ فرض کر لیتے ہیں، تو $x 1 = 1$ مل جاتا ہے۔ اسی طرح دوسری ویژہ قیمت کے لیے بھی ویژہ سمتیہ نکالا جا سکتا ہے۔ یہ دو ویژہ سمتیے یوں ہیں: $V_0 = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right] , \,\, V_1 \left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}\right]$
ویژہ سمتیہ کی میٹرکس یوں لکھی جا سکتی ہے: $V =\left[ \begin{matrix} V_0 & V_1 \end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right]$

تصویر میں دیکھو کہ یہ میٹرکس تفاعل نیلے دائرے کو سرخ بیضوی شکل میں بھیجتی ہے۔ بیضوی شکل کی لمبائی اور چوڑائی کا تناسب (ratio) ‏7 ہے، جو اس میٹرکس کی دو ویژہ قیمتوں کا تناسب ہے۔ ویژہ سمتیہ کو تصویر میں کالی لکیروں سے دکھایا گیا ہے۔ ملاحظہ ہو کہ یہ سمتیہ بیضوی شکل کےدُھرا (axis) کے متوازی ہیں، اور آپس میں قائم الزاویہ ہیں۔ (اگر میٹرکس متنانظر (symmetric) نہ ہوتی، تو ویژہ سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ نہ ہوتے۔) غور کرو کہ عام فضا (جس میں نیلا دائرہ ہے ) کے بنیاد سمتیہ یہ ہیں (تصویر میں تانے بانے کی لکیروں میں دیکھو) : $\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] , \,\, \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$
جو کہ شناخت میٹرکس کے ویژہ سمتیہ ہیں۔

ایک میٹرکس کی کچھ ویژہ قیمت مختلط عدد بھی ہو سکتی ہیں، جس صورت میں ویژہ سمتیہ بھی مختلط ہونگے اور ان کی جیومیٹریکل سمجھ پیدا نہیں ہوتی۔ یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ایک سے زیادہ ویژہ قیمت برابر ہوں (منفرد نہ ہوں)، اور اس صورت میں پورے n ویژہ سمتیہ نہ نکالے جا سکیں (حوالہ 1)۔

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی 1

اگر ایک $n \times n$ مربع میٹرکس A کی تمام ویژہ قیمتیں اصل (مختلط نہیں) عدد $\ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1}$ ہوں، اور اس میٹرکس کے n لکیری آزاد ویژہ سمتیہ $\ V_0, V_1, \cdots, V_{n-1}$ نکالے جا سکتے ہوں (یہاں ہر ویژہ سمتیہ ایک $\ n \times 1$ میٹرکس ہے)،
اب ویژہ سمتی کو اکٹھا بطور میٹرکس، اور ویزہ قیمتوں کو ایک وتر میٹرکس کے بطور یوں لکھتے ہوئے:
$\begin{matrix} V=[V_0 & V_1 & \cdots & V_{n-1}] \end{matrix}\,,\,$ $\Lambda =\left[\begin{matrix} \lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} \end{matrix}\right]\,,$
یہ سچ ہو گا کہ $A = V Λ V - 1$
اسے یوں بھی لکھا جا سکتا ہے، یعنی ایک میٹرکس کو وتر میٹرکس میں بدلا جا سکتا ہے، ویژہ سمتیہ میٹرکس کی مدد سے

$Λ = V - 1 A V$

اس سے یہ نتیجہ بھی اخذ کیا جا سکتا ہے کہ $\det(A) = \det(\Lambda) = \prod_{j=0}^{n-1} \lambda_j$
چونکہ $det(V - 1) = 1 / det(V)$

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی 2

اگر میٹرکس A ایک متناظر میٹرکس ہو، تو اوپر والا مسلئہ اثباتی ۱ کی شرائط ہمیشہ پوری ہونگی اور اس کے علاوہ ویژہ سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ ہونگے۔ اور

$A = V Λ V - 1$
$Λ = V - 1 A V$

اگر تمام ویژہ سمتیہ کی مطلق قیمتوں کو 1 کر کیا جائے، تو ویزہ سمتیہ کی میٹرکس V قائم الزاویہ ہو گی، اور اسلیے $\ V^{-1}=V^t$ (جہاں $\ V^t$ میٹرکس V کا پلٹ کر بنتی ہے)۔ اس صورت میں

$A = V Λ V - 1 = V Λ V t$
$Λ = V - 1 A V = V t A V$

[ترمیم کریں] مثال 2

اوپر والی مثال ۱ میں: $V \Lambda V^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 7 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} 3 & 4\\ 4 & 3 \end{matrix}\right] =A$
اور یہ بھی تسکین کر لو کے کہ
$\det(A) = 3 \times 3 - 4 \times 4 = -7 \,,\, \det(\Lambda)=7 \times -1 = -7$ تصویر میں دیکھو کہ سرخ بیضوی شکل کا رقبہ $\ |\det(A)|=7$ گنا ہے بہ نسبت نیلے دائرہ کے رقبہ کے۔

چونکہ، $\left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right] =2$ ، ویژہ سمتیہ کی مطلق قیمت ہے $\sqrt{2}$ ، اس لیے اوپر والی ویژہ میٹرکس کو ہم $\sqrt{2}$ سے تقسیم کر کے قائم الزاویہ میٹرکس بنا لیتے ہیں: $V =\left[ \begin{matrix} V_0 & V_1 \end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]$
اب مسلئہ اثباتی ۲ کی رو سے (یاد رہے کہ A متناظر میٹرکس تھی) $V \Lambda V^t = \left[ \begin{matrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 7 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 4\\ 4 & 3 \end{matrix}\right] =A$

[ترمیم کریں] ویژہ کثیر رقمی

$\ n \times n$ مربع میٹرکس $\ A$ کے لیے، $\ \det(A - \lambda I) = 0$ ، متغیر $λ$ میں ایک درجہ n کا کثیر رقمی ہے، جس کو ویژہ کثیر رقمی (characteristic polynomial) کہتے ہیں۔

$\ p(\lambda) = \det(A-\lambda I)= a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_{1} \lambda + a_0$

[ترمیم کریں] اور دیکھو

[ترمیم کریں] حوالہ جات

              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ           ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%88/%DB%8C/%DA%98/%D9%88%DB%8C%DA%98%DB%81_%D9%82%DB%8C%D9%85%D8%AA.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

We provide Linux to the World

ویژہ قیمت

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم کریں] مثال 1

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی 1

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی 2

[ترمیم کریں] مثال 2

[ترمیم کریں] ویژہ کثیر رقمی

[ترمیم کریں] اور دیکھو

[ترمیم کریں] حوالہ جات

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں