Categoria (teoria das categorias)

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A teoria das categorias é um estudo matemático abstrato de estruturas matemáticas e as relações existentes entre elas. Categoria é uma estrutura formada por objetos e morfismos que é estudada em Teoria das categorias.

Índice

1 Definição
2 Exemplos de categorias
3 Ver também
4 Ligações externas
5 Referências

[editar] Definição

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

Uma classe de objetos $a, b, c,...$
Para cada par de objetos $a, b$ , um conjunto de morfismos (ou setas) de $a$ para $b$ , denotados por $f:a\rightarrow b$ (e neste caso se diz que $a$ é o objeto origem e $b$ é o objeto destino da seta);
Uma operação chamada identidade, $i d$ , que associa a cada objeto $a$ um morfismo $id_a:a\rightarrow a$ que tem origem e destino em $a$ ;
Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos e um morfismo chamado morfismo composto de f e g, tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
- (associatividade) Sejam $f:a\rightarrow b$ , $g:b\rightarrow c$ e $h:c\rightarrow d$ . Então $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$ ;
- (identidade) Para todo objeto $a$ , existe um morfismo $id_a:a\rightarrow a$ chamado morfismo identidade de $a$ , tal que para todo $f:a\rightarrow b$ , tem-se $f\circ id_a=f$ e para todo $g:c\rightarrow a$ , tem-se $id_a\circ g=g$ .

[editar] Exemplos de categorias

A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
Um conjunto parcialmente ordenado $A$ define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto $A$ . Um único morfismo entre dois elementos $a$ e $b$ é definido se $a\leq b$ . A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

[editar] Ver também

[editar] Ligações externas

[editar] Referências

Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.

Teoria das Categorias