Último Teorema de Fermat

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Pierre de Fermat

O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat-Wiles, afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos $x$ , $y$ , $z$ e $n$ com $n$ maior que 2 que satisfaça

$x^n+y^n=z^n \,$ .

(Para os primeiros valores de $n$ existe uma infinidade de soluções - o caso $n = 1$ é evidente, o caso $n = 2$ admite, entre outras, a solução clássica 4² + 3² = 5² e utiliza o método do círculo, outras soluções podem ser encontradas usando-se o esquema $((x 2 - 1) / 2) 2 + x 2 = ((x 2 + 1) / 2) 2$ , para todo x ímpar).

O teorema deve seu nome a Pierre de Fermat, que escreveu às margens de uma tradução de Arithmetica de Diophante, ao lado do enunciado deste problema :

J'ai découvert une preuve tout à fait remarquable, mais la marge est trop petite pour l'écrire.

Encontrei uma prova absolutamente notável, mas a margem é pequena demais para escrevê-la.

Após ter sido objeto de fervorosas pesquisas durante mais de 300 anos (essa nota insinuava que uma demonstração elementar era possível - o que atiçou a curiosidade de todos), ele foi finalmente demonstrado em 1994 pelo matemático britânico Andrew Wiles. A grande maioria dos matemáticos pensam hoje que Fermat estava enganado: a prova (retrabalhada desde então) utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números, ferramentas que ainda não existiam na época em que viveu Fermat.

Mais precisamente, Wiles provou a conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabia-se já havia algum tempo que ela implicava o teorema. A prova utiliza as formas modulares e as representações galoisianas (de Évariste Galois, matemático francês).

Este teorema não tem aplicação nenhuma per se: ele toma um valor importante, no entanto, devido às idéias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo.

Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação xⁿ + yⁿ = 1 : se n > 2, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero.

[editar] Observação

Sendo costume que se dê a um teorema o nome daquele que fez sua demonstração, o título «teorema de Fermat» pode não ser apropriado. Dever-se-ia falar ou de uma conjectura de Fermat ou do teorema de Wiles.

[editar] O Último Teorema de Fermat e a Literatura

Propiciando notáveis avanços em vários ramos da matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está admiravelmente descrita no livro “O Último Teorema de Fermat”^[1] , do autor britânico Simon Singh, com 300 páginas.