Afgeleide (wiskunde)

In de wiskunde is de afgeleide van een functie in een punt de helling van de raaklijn aan de grafiek van die functie in dat punt. Het woord afgeleide is hier in feite een afgekorte term voor het begrip afgeleide waarde. Het is een waarde die afgeleid is van de oorspronkelijke functie. Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren.

Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden.

De afgeleide van een functie f wordt vaak genoteerd als f' ("f-accent") of als $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ .

Inhoud

1 Voorbeeld
2 Definitie
3 Afgeleide van functies
4 Functies van meer dan één veranderlijke
5 Afgeleiden van hogere orden
6 Fractionele afgeleiden
7 Toepassingen
8 Zie ook
9 Externe links

[bewerk] Voorbeeld

Een fietser rijdt langs een rechte weg. De weg die hij heeft afgelegd in de tijd t sinds hij begon te fietsen, noemen we s(t). Hoe snel fietste hij op het tijdstip t₀? We kunnen zijn snelheid enigszins bepalen door te kijken welke afstand hij aflegde in de tijd Δt na het tijdstip t₀. Deze afstand is:

$\Delta s = s_{(t_0+\Delta t)}-s_{t_0}\!$

Zijn gemiddelde snelheid in die periode was:

$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ .

Hoe kleiner we de periode Δt nemen, hoe meer de gemiddelde snelheid de snelheid $v_{t_0}$ op het tijdstip t₀ zal benaderen. Die snelheid is de limiet voor Δt naar 0 en heet de afgeleide van s_t naar t:

$v_{t_0}=s'_{t_0}=\frac{ds}{dt}(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\,^|_{|_{t=t_0}}$ .

[bewerk] Definitie

Laat f: R→R een continue functie zijn. We bekijken een lijn door twee vlak bij elkaar liggende punten op de grafiek van f: het punt (x, f(x)) en het punt (x + Δx, f(x + Δx)). Het verschil tussen de x-coördinaten van deze punten is Δx en het verschil tussen hun y-coördinaten is Δf = Δy = f(x + Δx) - f(x). De helling van de lijn door deze twee punten is

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

We definiëren de afgeleide van f in x als de volgende limiet, onder de voorwaarde dat deze bestaat:

$f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

Als deze limiet bestaat, noemen we f differentieerbaar in x.

Een equivalente definitie, die eenvoudiger gegeneraliseerd kan worden naar functies van meer variabelen, is de volgende: Laat x₀ een reëel getal zijn. Als er een reëel getal a en een functie h bestaan zodat voor alle x geldt

$f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+h(x-x_0)$

en bovendien h(x) / x naar 0 gaat als x→0, dan is a de afgeleide van f in x₀.

[bewerk] Afgeleide van functies

[bewerk] Theoretische afleiding

afgeleide van $f (x) = x 2$

$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-(x^2)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2 x \Delta x +(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2 x \Delta x +(\Delta x)^2}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}(2 x +\Delta x)=2x$

afgeleide van $f (x) = x n$

We kunnen

x n

schrijven als

x x n - 1

, en daar de productregel op toepassen:

f'(x) = x n - 1 + x (n - 1) x n - 2 = n x n - 1

Verder weten we dat

f'(x 2) = 2 x

(basisstap).

Op deze manier kunnen we m.b.v. inductie afleiden dat de afgeleide

n x n - 1

afgeleide van $f (x) = e x p (x)$

$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(x) \exp(\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}$

$=\exp(x) \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ \exp(\Delta x)-1}{\Delta x}=\exp(x)$

want $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}=1$ , uit de somdefinitie van

exp(x)

[bewerk] Regels en formules

kettingregel: als $f(x)=g(h(x))\!$ , dan is $\!f'(x) = g'(h(x)) h'(x)$
afgeleide van inverse functie: als g(x) de inverse is van f(x), is $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ (zie kettingregel)
productregel: als $f(x)=g(x)h(x)\!$ , dan is $f'=g'h+gh'\!$
quotiëntregel: als $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ , dan is $f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}$

[bewerk] Verwante afgeleiden

afgeleide van $sin(x)\!$ : $sin'(x)=cos(x)\!$

De afleiding berust op de gehanteerde definitie van sin(x), bv. de reeksdefinitie.

afgeleide van $cos(x)\!$ : $cos'(x)=-sin(x)\!$ . Met de kettingregel:

$cos'(x)=\left(sin(\frac{\pi}{2}-x)\right)'=sin'(\frac{\pi}{2}-x)(\frac{\pi}{2}-x)'=cos(\frac{\pi}{2}-x)(-1)=-sin(x)$

afgeleide van $tan(x)\!$ . Met tan(x) = sin(x)/cos(x) volgt uit de quotiëntregel

$tan'(x)=\frac{\sin'(x) \cos(x)-\sin(x) \cos'(x)}{\cos(x)^2}=\frac{cos(x)^2+sin(x)^2}{\cos(x)^2}=\frac{1}{\cos(x)^2}$

afgeleide van ln(x)

$\frac{}{}(\exp(\ln(x))' = \exp'(\ln(x)) \ln'(x)= \exp(\ln(x)) \ln'(x) =x \ln'(x)$ , want

exp(x) = exp'(x)

Eigenlijk is exp(ln(x)) gelijk aan x (uit de definitie van de logaritme) en is de afgeleide aldus gelijk aan 1. Uiteraard blijft de kettingregel geldig:

$\frac{}{}(\exp(\ln(x))' =x \ln'(x)=1$ , dus de afgeleide van ln(x) is $\frac{1}{x}$

afgeleide van cosh(x)) en sinh(x)

Net zoals bij de cosinus kunnen we gebruikmaken van de som-eigenschap van de cosinus hyperbolicus

cosh(a + b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b)

We kunnen eveneens de volgende eigenschap gebruiken

$\cosh(x)=\cos(\imath x)$ .

Beide resulteren in:

cosh'(x) = sinh(x)

en omgekeerd:

sinh'(x) = cosh(x)

[bewerk] Functies van meer dan één veranderlijke

Als f van verscheidene veranderlijken afhangt, dan kan men alle veranderlijken op één na een constante waarde geven en de afgeleide ten opzichte van de ene overblijvende veranderlijke bestuderen: partiële afgeleide.

Het artikel differentieerbaarheid bespreekt hoe de afgeleide van een functie van $\mathbb{R}^m$ naar $\mathbb{R}^n$ kan worden opgevat als een matrix.

[bewerk] Afgeleiden van hogere orden

Is f' ook differentieerbaar, dan is het mogelijk hiervan de afgeleide f'' te bepalen. Deze heet de afgeleide van de tweede orde, of kortweg tweede afgeleide van f. Ook hogere afgeleiden komen voor. De n^e afgeleide van f wordt vaak aangeduid met f ⁽ⁿ⁾.

[bewerk] Fractionele afgeleiden

Het is ook mogelijk afgeleiden van niet-gehele orde te definiëren, bijvoorbeeld van orde p=1,5. Deze hebben met integralen gemeen dat hun waarde van zowel een boven- als een ondergrens afhangt. Bij afgeleiden van gehele orde is dit niet zo. Een van de manieren waarop een dergelijke fractionele afgeleide bepaald kan worden is door eerst een functie aan Fouriertransformatie te onderwerpen, vervolgens met de frequentie ω tot de macht p te vermenigvuldigen en weer terug te transformeren.

[bewerk] Toepassingen

Belangrijke toepassingen vindt de afgeleide in de wiskunde. Zo kan een maximum of minimum van een functie gevonden worden door de afgeleide te bepalen. Indien een functie in een bepaald punt een (lokaal) maximum of een (lokaal) minimum bereikt, is de afgeleide van de functie in dat punt gelijk aan nul (indien de afgeleide bestaat). Om een grafiek van een functie met de hand te tekenen is het daarom zinvol eerst de eventuele maxima en minima te bepalen. Om te bepalen of de punten waarin de afgeleide gelijk is aan nul maxima or minima zijn, wordt soms gebruikgemaakt van de Hessiaan.

Een toepassing van de tweede afgeleide is het volgende. Zij x een punt waarvoor geldt dat f'(x) = 0, dan is het punt x een buigpunt, een lokaal maximum of een lokaal minimum. Deze drie gevallen kunnen onderscheiden worden door naar de tweede afgeleide te kijken. Wanneer f⁽²⁾(x) < 0, dan is er sprake van een lokaal maximum, en wanneer f⁽²⁾(x) > 0, dan spreken we van een lokaal minimum. Als f⁽²⁾(x) = 0, dan is nader onderzoek nodig van het verloop van de tweede afgeleide in een omgeving van x, om een uitspraak (buigpunt, lokaal maximum, lokaal minumum) te kunnen doen.

Het omgekeerde van de afgeleide bepalen heet de primitieve bepalen.

Veel toepassingen heeft de afgeleide ook in de natuurkunde. Zo is bijvoorbeeld de snelheid de afgeleide naar de tijd van de plaats. De versnelling is dan weer de afgeleide van de snelheid.

[bewerk] Zie ook

[bewerk] Externe links

http://www.wetenschapsforum.nl/viewtopic.php?t=6783 Minicursus differentiëren

Categorieën: Analyse | Afgeleide | Mechanica