Tweede afgeleide

De tweede afgeleide van een functie is de afgeleide van de afgeleide van die functie, dus de functie die verkregen wordt door de oorspronkelijke functie twee maal te differentiëren (alles onder de veronderstelling dat de afgeleiden bestaan). De tweede afgeleide geeft dus de mate van verandering aan van de eerste afgeleide. Net als de eerste afgeleide speelt ook de tweede een rol in het functieonderzoek, onder andere bij het bepalen van extreme punten van een functie

[bewerk] Voorbeeld

We bepalen de tweede afgeleide van de functie:

$f(x) = \frac{x^3}{2} + e^x + 4x - 6$

De eerste afgeleide is dan:

$f'(x) = \frac 32 x^2 + e^x + 4$

De tweede afgeleide is de afgeleide van de eerste afgeleide:

$f''(x) = \left(\frac 32 x^2 + e^x + 4\right)' = 3x + e^x$

[bewerk] Toepassingen

De eerste afgeleide wordt gebruikt om de steilheid van een grafiek te achterhalen. Door de punten waar de afgeleide 0 is nader te onderzoeken, kunnen ook maxima en minima bepaald worden. In dat nadere onderzoek speelt de tweede afgeleide een rol. D.m.v. de eerste afgeleide is te zien of een grafiek daalt of stijgt. De grafiek kan dan echter nog steeds toenemend dalen/stijgen, of afnemend, of lineair. Welke van de drie het is, is te achterhalen met de tweede afgeleide.

[bewerk] Voorbeeld

We onderzoeken de functie

$f(x) = \frac{x^3}{5}$

Zoals te zien, stijgt de grafiek over het hele interval [-5,5]. Te zien is echter ook dat in de oorprong de richtingscoefficiënt gelijk is aan 0. Weliswaar is de functie op [-5,5] stijgend, maar de mate van stijging varieert. Dat de functie stijgend is zien we aan de eerste afgeleide, want deze is nooit negatief:

$f'(x) = \frac{3}{5}x^2$

Het minimum van de afgeleide is 0 (in het punt x=0). Dat betekent dat de grafiek in het punt x = 0 horizontaal verloopt.
Aan de eerste afgeleide lezen we af dat de functie stijgend is, maar de mate van stijging blijkt uit de tweedce afgeleide.

$f''(x) = \frac{6}{5}x$ .