二次曲面

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二次超曲面（にじちょうきょくめん, quadric）とは、円錐曲線の概念を一般次元ユークリッド空間 Rⁿ に拡張したものであり、2次数多項式の零点集合として表されるような超曲面のことをさす。3次元空間における二次超曲面は二次曲面ともよばれる。

[編集] 概要

一般的な二次超曲面の定義式は次のように書くことができる。

$(\sum^{n}_{i=1}a_{ii}x_{i}^2+\sum^{n}_{i<j}2a_{ij}x_{i}x_{j})+(\sum^{n}_{i=1}2b_{i}x_{i})+(c) = 0 \quad (*)$

括弧で囲まれた部分は、それぞれ 2 次、1 次、0 次の斉次多項式である。二次超曲面は、円錐曲線の場合と違って、このままでは構造を把握しにくい。次のようにして線型変換によって定義式を単純なかたちに変形することができる。

まず、上式に於いて次のような行列、及びベクトルを考える。

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix};$ 　 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix};$ 　 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$

この時、(*)は、内積〈・,・〉を用いて次のように書き表すことが出来る。

$\langle A\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle+2\langle\mathbf{b},\mathbf{x}\rangle+c=0$

これが、線形代数学的な二次超曲面の定義である。また、この時 A≠O でなくてはならない。A を係数行列と呼ぶ。今、次のように行列・ベクトルを定義する。

$\tilde{\mathbf{x}}= \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{pmatrix};$ 　 $R = \begin{pmatrix} A & \mathbf{b} \\ \mathbf{b}^T & c \\ \end{pmatrix}$

すると、(*)はさらに、次の形に書き直すことが出来る。

$\langle R\tilde{\mathbf{x}},\tilde{\mathbf{x}}\rangle = 0$

この時、R を拡大係数行列と呼ぶ。rank R > n であるとき、この二次超曲面は、非退化であるという。また、rank R ≤ n であるときは退化していると言うが、こちらの言い方はあまり用いられない。二次超曲面が非退化であるとき、係数行列と拡大係数行列の階数の関係を用いて、二次超曲面は次のように分類される。

rank R - rank A = 0 ：錐面

rank R - rank A = 1 ：有心二次超曲面

rank R - rank A = 2 ：無心二次超曲面

また、退化した二次超曲面は筒面の一種である。今、有心と無心という言葉が出てきたが、これは点対称であるかないかを指す。上の 3 つは、適当な直交変換を行うことによって、次のような陰関数に帰着できる。

錐面

$a'_1 X_1^2 + a'_2 X_2^2 + \cdots + a'_n X_n^2 = 0$

有心二次超曲面

$a'_1 X_1^2 + a'_2 X_2^2 + \cdots + a'_n X_n^2 = 1$

無心二次超曲面

$a'_1 X_1^2 + a'_2 X_2^2 + \cdots + a'_{n-1} X_{n-1}^2 + 2b X_n = 1$

上の 3 式を、非退化な二次超曲面の標準形という。この時、上の係数を対角成分にもつ行列を A' とすれば、A' は適当な階数 n の線型変換を行うことにより、次のような行列に変換できる。

$S = \begin{pmatrix} E_p & 0 & 0 \\ 0 & -E_q & 0 \\ 0 & 0 & (0) \end{pmatrix}$

ただし、右下の成分が 0 になるのは、無心二次超曲面の場合のみである。係数 1 の単位行列の次数 p と、係数 -1 の単位行列の次数 q を対にしたもの (p,q) を、二次超曲面の符号数という。二次超曲面の形態は、符号数によってさらに細かく分類される。

[編集] 楕円体の体積

符号数が (n,0) であるような二次超曲面を楕円面という。楕円面は、二次超曲面の中で唯一の閉じた超曲面である。従って、楕円面によって囲まれた部分（楕円体）にのみ体積が定義できる。その体積 V は、ガンマ関数 Γ(x) を用いて、

$V = \frac{\Gamma(1/2)^n}{\Gamma(n/2+1)}\sqrt{\frac{1}{|A'|}}$

で与えられる。かの有名な、半径 r の球の体積 (4π/3)r³ も、ここから導かれるのである。

[編集] 3次元二次曲面の分類

比較的初等の数学では、二次曲面と言うと狭義に 3 次元ユークリッド空間 R³ 上のものを指していた。その実態については一般次元の場合と同じであるが、円錐曲線のように、各曲面に固有の名称がついているので、それについて挙げることにする。

ρ(※)	符号数	曲面の名称	標準形
0		錐面	aX²+bY²-cZ² = 0 aX²-bY²-cZ² = 0
1	(3,0)	楕円面	aX²+bY²+cZ² = 1
1	(2,1)	一葉双曲面	aX²+bY²-cZ² = 1
1	(1,2)	二葉双曲面	aX²-bY²-cZ² = 1
1	(0,3)	（なし）	-aX²-bY²-cZ² = 1
2	(2,0)	楕円放物面	aX²+bY²+2cZ = 1
2	(1,1)	双曲放物面	aX²-bY²+2cZ = 1
2	(0,2)	楕円放物面	-aX²-bY²+2cZ = 1
(R²)0		交差二平面	aX²-bY² = 0
(R²)1	(2,0)	楕円柱面	aX²+bY² = 1
(R²)1	(1,1)	双曲線柱面	aX²+bY² = 1
(R²)1	(0,2)	（なし）	-aX²-bY² = 1
(R²)2	(1,0)	放物線柱面	aX²+2bY = 1
(R²)2	(0,1)	放物線柱面	-aX²+2bY = 1
(R¹)1	(1,0)	平行二平面	aX² = 1
(R¹)1	(0,1)	（なし）	-aX² = 1