Quadrica
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, e in particolare in geometria, per quadrica, o equivalentemente per superficie quadrica, si intende ogni (iper-)superficie di uno spazio D-dimensionale sui complessi rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono {x1,x2,...xD}, allora la generale quadrica nello spazio CD è definita da un'equazione della forma
per una specifica scelta della matrice Q, del vettore P e della costante R.
Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in forme diverse "normalizzate" sensibilmente più semplici delle generali. In particolare, per D=3, l'equazione normalizzata per una quadrica tri-dimensionale centrata nell'origine (0,0,0) è:
Nello spazio euclideo tridimensionale vi sono 16 forme normalizzate di questo genere; di queste le più interessanti sono le seguenti:
ellissoide | ![]() |
sferoide (speciale caso di ellissoide) | ![]() |
sfera (speciale caso di sferoide) | ![]() |
paraboloide ellittico | ![]() |
circolare | ![]() |
paraboloide iperbolico | ![]() |
iperboloide ad una falda | ![]() |
iperboloide a due falde | ![]() |
cono | ![]() |
cilindro ellittico | ![]() |
cilindro circolare | ![]() |
cilindro iperbolico | ![]() |
Nello spazio proiettivo reale, l'ellissoide, il paraboloide ellittico e l'iperboloide a due falde sono equivalenti, a meno di una trasformazione proiettiva, ad ogni altra quadrica; i due paraboloidi iperbolici non sono differenti da ogni altra superficie del loro tipo (queste sono superfici rigate); il cono e il cilindro non sono differenti da ogni altra superficie del loro tipo (queste sono quadriche "degeneri", poiché la loro curvatura gaussiana è zero).
Nello spazio proiettivo complesso ciascuna delle quadriche non degeneri, a meno di tasformazioni proiettive, diventa indistinguibile da tutte le altre.
[modifica] Collegamenti esterni
- http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione diCRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).