Quadrique

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En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace euclidien usuel de dimension 3 représentée par une équation de deuxième ordre via des variables spatiales (coordonnées)

A x 2 + B y 2 + C z 2 + 2 D y z + 2 E x z + 2 F x y + G x + H y + I z + J = 0

avec des réels A,B,C,D,E,F non tous nuls.

Via des changements de repère, chaque quadrique peut voir son équation ramenée à une des formes normalisées. Il existe 16 formes normalisées, dont les plus intéressantes sont :

Ellipsoïde	$x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,$
Sphéroïde ou ellipsoïde de révolution (cas particulier d'ellipsoïde)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,$
Sphère (cas particulier de sphéroïde)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,$
Paraboloïde elliptique	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,$
Paraboloïde circulaire	$x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0 \,$
Paraboloïde hyperbolique	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0 \,$
Hyperboloïde à une nappe	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$ ,
Hyperboloïde à deux nappes	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = -1 \,$ ,
Cône	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,$ ,
Cylindre elliptique	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,$ ,
Cylindre circulaire	$x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1 \,$ ,
Cylindre hyperbolique	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \,$ ,
Cylindre parabolique	$\displaystyle{x^2 = 2 p y}$ ,

La détermination des formes normalisées se fait par l'intermédiaire de l'étude et de la réduction de la forme quadratique

Q (x, y, z) = A x 2 + B y 2 + C z 2 + 2 D y z + 2 E x z + 2 F x y

naturellement associée à l'équation.

Sommaire

1 Classification en géométrie euclidienne
2 Classification en géométrie affine
3 Classification en géométrie projective
4 Quadrique en dimension quelconque

[modifier] Classification en géométrie euclidienne

[modifier] Classification en géométrie affine

[modifier] Classification en géométrie projective

[modifier] Quadrique en dimension quelconque

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont $\{x1, x2, \dots, xD\}$ , la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :