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Quadrique

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En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace euclidien usuel de dimension 3 représentée par une équation de deuxième ordre via des variables spatiales (coordonnées)

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + Gx + Hy + Iz + J = 0

avec des réels A,B,C,D,E,F non tous nuls.

Via des changements de repère, chaque quadrique peut voir son équation ramenée à une des formes normalisées. Il existe 16 formes normalisées, dont les plus intéressantes sont :

Ellipsoïde x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,
Sphéroïde ou ellipsoïde de révolution (cas particulier d'ellipsoïde) x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,
Sphère (cas particulier de sphéroïde) x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,
Paraboloïde elliptique x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,
Paraboloïde circulaire x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0 \,
Paraboloïde hyperbolique x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0 \,
Hyperboloïde à une nappe x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,,
Hyperboloïde à deux nappes x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = -1 \,,
Cône x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,,
Cylindre elliptique x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,,
Cylindre circulaire x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1 \,,
Cylindre hyperbolique x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \, ,
Cylindre parabolique \displaystyle{x^2 = 2 p y} ,

La détermination des formes normalisées se fait par l'intermédiaire de l'étude et de la réduction de la forme quadratique

Q(x,y,z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy

naturellement associée à l'équation.

Sommaire

[modifier] Classification en géométrie euclidienne

[modifier] Classification en géométrie affine

[modifier] Classification en géométrie projective

[modifier] Quadrique en dimension quelconque

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont \{x1, x2, \dots, xD\}, la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :

\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0

pour un choix spécifique de Q, P et R.


L'équation normalisée pour une quadrique non dégénérée centrée à l'origine est de la forme :

\sum_{i=1}^D \pm {x_i^2 \over a_i^2} =1

Et il existe de nombreux cas dégénérés

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