ผิวกำลังสอง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ผิวกำลังสอง (quadric surface) หรือ ควอดริก (quadric) ในคณิตศาสตร์ ใช้หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดย คำตอบ หรือ ทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด $\{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\}$ ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้

$\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=0}^D P_i x_i + R = 0$

โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็น จำนวนจริง หรือ จำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่า ฟีลด์ (คณิตศาสตร์) ใดๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบ หรือ ทางเดินรากของกลุ่มของพหุนาม นั้นเรียกว่า ประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และ ประเภทของภาพฉาย นั้นจะสมสัณฐาน กับการตัดกันของควอดริก

สมการบรรทัดฐานของ ผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

$\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2}=1$

โดยการ ย้ายตำแหน่ง และ หมุน รูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

ทรงรี	$x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,$
ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,$
ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,$
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,$
ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม	$x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0 \,$
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0 \,$
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$
รูปกรวย	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,$
ทรงกระบอกเชิงวงรี	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,$
ทรงกระบอกเชิงวงกลม	$x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1 \,$
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \,$
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา	$x^2 + 2y = 0 \,$

[แก้] ภาคขยายของผิวกำลังสอง

นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และ ไฮเปอร์ควอดริก

[แก้] ซุปเปอร์ควอดริก

สมการบรรทัดฐานของ ซุปเปอร์ควอดริก ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

$\left ( { x^2 \over a^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_1} + \left ( {y^2 \over b^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_2} + \left ( {z^2 \over c^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_3}=1$

หรือ ในรูป

$\,x(\theta,\phi)=\,$	$a\, \operatorname{sign} ( \cos \theta \cos \phi)\, \| \cos \theta \cos \phi \| ^{\epsilon_1} )$
$\,y(\theta,\phi)=\,$	$b\, \operatorname{sign} ( \sin \theta \cos \phi)\, \| \sin \theta \cos \phi \| ^{\epsilon_2} )$
$\,z(\theta,\phi)=\,$	$c\, \operatorname{sign} ( \sin \phi)\, \| \sin \phi \| ^{\epsilon_3} )$

โดย ${-\pi \over 2} \le \phi \le {\pi \over 2}$ และ $-\pi \le \theta < \pi$

สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจาก ผิวกำลังสอง คือ เลขยกกำลัง $\, \epsilon_1,\ \epsilon_2,\ \epsilon_3 \,$ โดยที่ค่า $\, \epsilon_1\,$ และ $\, \epsilon_2\,$ นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน $\, \epsilon_3 \,$ นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง

$\,\epsilon_3=4\,$
$\,\epsilon_3=2\,$
$\,\epsilon_3=1\,$
$\,\epsilon_3=0.5\,$
$\,\epsilon_3=0.1\,$
$\,\epsilon_3=0\,$
$\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0 \,$	$\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0.5 \,$	$\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 1 \,$	$\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 2 \,$	$\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 4 \,$

[แก้] ไฮเปอร์ควอดริก

ไฮเปอร์ควอดริก เป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

$\sum_{i=1}^{N} {|l_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} = 1$

โดย

$\,l_i(x,y,z) = a_i x + b_i y + c_i z + d_i\,$

และ $\,N \ge 3\,$


$\, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=1\,$	$\, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=2\,$	$\, \epsilon_1=\epsilon_3=2, \epsilon_2=0.2\,$

นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียก คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก หรือ ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง

$\sum_{i=1}^{N_p} {|l^{(pol)}_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} + \sum_{m=1}^{M} {w_m \cdot e^{-\sum_{j=1}^{N_e}{|l^{(exp)}_{mj}(x,y,z)|^{1\over\epsilon_{mj}}} }} = 1$

พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุม หรือ รอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง

	$\Rightarrow$
ไฮเปอร์ควอดริก		ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์