Disequazione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite. In altri termini, dette $f(x_1, x_2, ..., x_n)\;$ e $g(x_1, x_2, ..., x_n)\;$ due funzioni definite in un insieme A, una disequazione nelle variabili $x_1\;$ , $x_2\;$ , ..., $x_n\;$ è un'espressione della forma:

$f(x_1, x_2, ..., x_n) > g(x_1, x_2, ..., x_n)\;$

oppure

$f(x_1, x_2, ..., x_n) < g(x_1, x_2, ..., x_n)\;$

Risolvere una disequazione significa trovare quell'insieme di valori che, attribuiti alle incognite, la rendono una disuguaglianza effettivamente verificata. Solitamente, le soluzioni di una disequazione sono costituite da uno o più intervalli di valori.

[modifica] Principi di equivalenza

Due disequazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le disequazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle disuguaglianze:

Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente. Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine oppure spostarlo da un membro all'altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione che sia sempre positiva si ottiene una disequazione equivalente; moltiplicando o dividendo per un'espressione negativa, la disequazione è equivalente a quella data a patto di cambiarne il senso o verso. Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per $-1\;$ ).